Сделаем рисунок. Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точки касания окружности с его сторонами: на АС - К, на СВ-Н, на АВ-М Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы . Следовательно, АВ=2R=10см По свойству касательных из одной точки к окружности ВН=ВМ, АМ=АК, КС=СН Пусть ВН=х Тогда ВМ=х, а АМ=10-х Катет СВ=х+1 Катет АС=АМ+1 АМ=10-х катет АС=10-х+1=11-х По теореме Пифагора выразим квадрат гипотеунзы АВ через сумму квадратов катетов: АВ²=АС²+СВ² 100=(11-х)²+(1+х)² После возведения в квадрат содержимого скобок и приведения подобных членов получим квадратное уравнение 2х²-20х+22=0 или, сократив на 2, х²-10х+11=0 D=b²-4ac=-10²-44=56 х₁=(10+2√14):2=5+√14 х₂=5-√14 Отсюда АС=11-5-√14=6-√14 ВС=1+5+√14=6+√14 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S=(6-√14)(6+√14):2=(36-14):2=11 cм² Второй корень даст тот же результат, просто катеты «поменяются" размерами. ----- [email protected]
Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точки касания окружности с его сторонами:
на АС - К,
на СВ-Н,
на АВ-М
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы .
Следовательно, АВ=2R=10см
По свойству касательных из одной точки к окружности
ВН=ВМ,
АМ=АК,
КС=СН
Пусть ВН=х
Тогда ВМ=х, а АМ=10-х
Катет СВ=х+1
Катет АС=АМ+1
АМ=10-х
катет АС=10-х+1=11-х
По теореме Пифагора выразим квадрат гипотеунзы АВ через сумму квадратов катетов:
АВ²=АС²+СВ²
100=(11-х)²+(1+х)²
После возведения в квадрат содержимого скобок и приведения подобных членов получим квадратное уравнение
2х²-20х+22=0
или, сократив на 2,
х²-10х+11=0
D=b²-4ac=-10²-44=56
х₁=(10+2√14):2=5+√14
х₂=5-√14
Отсюда
АС=11-5-√14=6-√14
ВС=1+5+√14=6+√14
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S=(6-√14)(6+√14):2=(36-14):2=11 cм²
Второй корень даст тот же результат, просто катеты «поменяются" размерами.
-----
[email protected]
для начала найдем высоту h в треугольнике, опущенную на сторону 14.
Есть тупой и простой.
Тупой.
Площадь по формуле Герона равна 84, значит высота 12.
Простой.
Пусть кусочек стороны 14 от основания высоты до стороны 13 обозначен х, тогда
h^2 + x^2 = 13^2;
h^2 + (14 - x)^2 = 15^2; C учетом первого уравнения x = (13^2 + 14^2 - 15^2)/(2*14) =5; h = 12; (опять пифагрова тройка 5, 12, 13 :))
Теперь есть прямоугольный треугольник, у которого H (искомое расстояние) это один катет, h = 12 - другой, а гипотенуза имеет длину 20.
Можно опять тупо сосчитать H, но ответ все равно будет 16 - тут опять пифагорова тройка (12, 16, 20) - кратная (3, 4, 5).
ответ 16.