Из треугольника ВСВ1 найдем угол СВВ1=90-74=16 град, АВВ1=50 град
Аналогично из треугольника ВСС1 угол ВСС1=24 град, а угол С1СА=74-24=50 градусов
Из треугольника АА1С угол САА1=16 град, ВАА1=24 градусов
Рассмотрим четырехугольник СВ1ТА1. Углы СА1Т и СВ1Т равны по 90 градусов. Значит вокруг четырехугольника СВ1ТА1 можно описать окружность. Опишем такую окружность . Заметим, что
угол В1А1Т=В1СТ=50 град ( опираются на одну дугу ТВ1).
А угол А1В1Т=А1СТ=24 град ( опираются на 1 дугу А1Т)
Аналогично вокруг четырехугольника ВА1ТС1 описываем окружность.
Тогда угол С1А1Т=С1ВТ=50 град ( опираются на одну дугу С1Т).
Отсюда следует, чтоугол А1=В1А1Т+С1А1Т=50+50=100 град
Угол А1С1Т=А1ВТ=16 (опираются на 1 дугу А1Т)
Наконец проводим окружность около четырехугольника АС1ТВ1
КМ = √(NK² + NM² - 2·NK·NM·cos60°) = √(64 + 225 - 2·8·15·0,5)
KM = √(289 - 120) = √169 = 13 см
Pkmn = 8 + 15 + 13 = 36 см
Skmn = 1/2 · NM · NK · sin60° = 1/2 · 8 · 15 · √3/2 = 30√3 см²
2. ∠С = 45° + 60° = 105°
∠B = 180° - 45° - 105° = 30°
По теореме синусов:
AC : sin∠B = BC : sin ∠A
AC = BC · sin30° / sin45° = 3√2 · 1/2 / (√2/2) = 3 см
3. Пусть х - коэффициент пропорциональности.
АВ = 4х, ВС = 7х.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
(AB² + BC²) · 2 = AC² + BD²
(16x² + 49x²) · 2 = 324 + 196
65x² · 2 = 520
x² = 4
x = 2 (x = - 2 не подходит по смыслу задачи)
АВ = 4 · 2 = 8 см
ВС = 7 · 2 = 14 см
Pabcd = (AB + BC) · 2 = (8 + 14) · 2 = 44 см
4. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 7, 24 и 25 см прямоугольный:
25² = 7² + 24²
625 = 49 + 576
625 = 625
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы:
R = AB/2 = 25/2 = 12,5 см
r = p - AB, где р - полупериметр.
р = (7 + 24 + 25)/2 = 56/2 = 28 см
r = 28 - 25 = 3 см
A1=100, B1=48, C1=32градусов
Объяснение:
Пусть точка пересечения высот Т
Из треугольника ВСВ1 найдем угол СВВ1=90-74=16 град, АВВ1=50 град
Аналогично из треугольника ВСС1 угол ВСС1=24 град, а угол С1СА=74-24=50 градусов
Из треугольника АА1С угол САА1=16 град, ВАА1=24 градусов
Рассмотрим четырехугольник СВ1ТА1. Углы СА1Т и СВ1Т равны по 90 градусов. Значит вокруг четырехугольника СВ1ТА1 можно описать окружность. Опишем такую окружность . Заметим, что
угол В1А1Т=В1СТ=50 град ( опираются на одну дугу ТВ1).
А угол А1В1Т=А1СТ=24 град ( опираются на 1 дугу А1Т)
Аналогично вокруг четырехугольника ВА1ТС1 описываем окружность.
Тогда угол С1А1Т=С1ВТ=50 град ( опираются на одну дугу С1Т).
Отсюда следует, чтоугол А1=В1А1Т+С1А1Т=50+50=100 град
Угол А1С1Т=А1ВТ=16 (опираются на 1 дугу А1Т)
Наконец проводим окружность около четырехугольника АС1ТВ1
В1С1Т=В1АТ=16 град
Значит С1=А1С1Т+В1С1Т=16+16=32 град
Угол С1В1Т=С1АТ=24 град
Тогда угол В1= А1В1Т+С1В1Т=24+24=48 град