Уравнение касательной в точке (x1, y1) к эллипсу (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1; x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1; Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение. Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1; x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1; Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2; если переписать уравнения эллипсов так a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1; c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1; и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2; то получается просто линейная система 2х2; a^2*u + b^2*v = 1; c^2*u + b^2*v = 1; У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1; Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки. a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9; 6*u + v = 1; 4*u + 9*v = 1; u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5; +-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб). Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.
Из сказанного выше в комментарие рассмотрим систему: 1)x^2/6+y^2=1 y=kx+b x^2/6+ (kx+b)^2=1 x^2+6k^2x^2+12kxb+6b^2-6=0 (1+6k^2)*x^2+12kxb+6b^2-6=0 Линейный случай отсекается 1+6k^2>0 D/4=36k^2*b^2-(1+6k^2)(6b^2-6)=0 2) x^2/4+y^2/9=1 x^2/4+(kx+b)^2/9=1 9x^2+4k^2x^2+8kxb+4b^2-36=0 (9+4k^2)+8kxb+4b^2-36=0 9+4kx^2>0 D/4= 16k^2b^2-(9+4k^2)(4b^2-36)=0 Раскрывая скобки в каждом уравнении получим. 36k^2*b^2-6b^2+6-36k^2b^2+36k^2=0 6k^2-b^2+1=0 и 2 уравнение: 16k^2b^2-36b^2+324-16k^2b^2+144k^2=0 4k^2-b^2+9=0 То выходит линейная система 6k^2-b^2=-1 4k^2-b^2=-9 Вычтем: 2k^2=8 k^2=4 k=+-2 b^2=25 b=+-5 То уравнения общих касательных будут принимать вид: y=2x+5 y=2x-5 y=-2x+5 y=-2x-5
x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1;
Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение.
Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1;
x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1;
Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2;
если переписать уравнения эллипсов так
a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1;
c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1;
и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2;
то получается просто линейная система 2х2;
a^2*u + b^2*v = 1;
c^2*u + b^2*v = 1;
У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1;
Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки.
a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9;
6*u + v = 1;
4*u + 9*v = 1;
u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5;
+-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб).
Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.
рассмотрим систему:
1)x^2/6+y^2=1
y=kx+b
x^2/6+ (kx+b)^2=1
x^2+6k^2x^2+12kxb+6b^2-6=0
(1+6k^2)*x^2+12kxb+6b^2-6=0
Линейный случай отсекается 1+6k^2>0
D/4=36k^2*b^2-(1+6k^2)(6b^2-6)=0
2) x^2/4+y^2/9=1
x^2/4+(kx+b)^2/9=1
9x^2+4k^2x^2+8kxb+4b^2-36=0
(9+4k^2)+8kxb+4b^2-36=0
9+4kx^2>0
D/4= 16k^2b^2-(9+4k^2)(4b^2-36)=0
Раскрывая скобки в каждом уравнении получим.
36k^2*b^2-6b^2+6-36k^2b^2+36k^2=0
6k^2-b^2+1=0
и 2 уравнение:
16k^2b^2-36b^2+324-16k^2b^2+144k^2=0
4k^2-b^2+9=0
То выходит линейная система
6k^2-b^2=-1
4k^2-b^2=-9
Вычтем:
2k^2=8
k^2=4 k=+-2
b^2=25 b=+-5
То уравнения общих касательных будут принимать вид:
y=2x+5
y=2x-5
y=-2x+5
y=-2x-5