[ геометрия дано:
доказать:
доказательство:​

Проведём двугранный угол! для этого опустим перпендикуляры из вершины и из точки А на прямую ВС! назовём точку Н!

АН - медиана!

проведём ВД и СК - медианы! они пересекаются в одной точке О и в нее же падает высота!

рассмотрим прямоугольный треугольник SOH! угол SHO =45 по условию! SO - катет=5! SH - гипотинуза и она же является апофемой!

SH=SO/sin45=5/sqrt2/2=10/sqrt2=10sqrt2/2=5sqrt2

 угол равен 45, то треугольник равнобедренный и ОН=5!

медианы точкой пересеения делятся в отношение 2 к 1! на ОН приходится только 1 часть, значит, вся меиана равна 15!

рассмотрим прямоугольный треугольник АВН! АН=15, угол ВАН=30 угол АВН =60

АВ=АН/sin60=15/sqrt3/2=30/sqrt3=30sqrt3/3=10sqrt3

Po=30sqrt3

Sb= 30sqrt3*5sqrt2/2=75sqrt6

So=10sqrt3*15/2=5sqrt3*15=75sqrt3

Sp=So+Sb=75sqrt6+75sqrt3

Для решения нужно найти сторону основания и апофему. 

Основание правильной треугольной пирамиды МАВС - равносторонний треугольник АВС. 

СН=5 ⇒

 СВ=СН:sin60°=5:√3/2=10/√3

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, 

т.е. в точку пересечения медиан ∆ АВС.

По свойству медиан т.О делит СН в отношении СО:ОН=2:1 =>

ОН=CH:3=5/3 

 Данный по условию двугранный угол - угол между боковой гранью и основанием, а ребром его является сторона основания. 

Градусной мерой двугранного угла является величина  линейного угла,  стороны которого  – лучи с общим началом на ребре двугранного угла, проведенные в его гранях перпендикулярно ребру. 

Наклонная МН⊥АВ, её проекция СН⊥АВ, ⇒ угол МНО=45°

∆ МОН- прямоугольный.

cos45°=√2/2

 Апофема МН=ОН:cos45°=(5/3):(√2/2)

S(ABC)=CH•AB:2=5•5/√3=25/√3

S(бок)=3•МН•АВ=3•10/(3√2)•0,5•10/√3=25√2/√3 

S(полн)=S (осн)+S(бок)

S(полн)=25/√3+25√2/√3 =25•(1+√2):√3= ≈ 34,846 см²