Геометрия! Из точки А, удаленной от плоскости у на расстоянии 15, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость у образуют угол в 120°. Найдите ВС.

По второму признаку равенства треугольников: "Если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике равны стороне и двум прилежащим к ней углам во втором треугольнике - то такие треугольники равны". 
Нам дано, что BM - биссектриса (на рисунке) , значит угол ABM равен углу CBM по определению биссектрисы 
Она же есть высота. По определению высоты BM перпендикулярна AC, значит углы AMB и CMB равны между собой (каждый по 90 градусов) 
А также сторона BM - общая для треугольников ABM и CBM, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников. 
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . Прямые углы AMB и CMB равны, значит и стороны, лежащие против них AB и CB. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. 
Утверждение доказано. 

В условии опечатка: в пункте б) надо найти отношение площадей треугольника ВОС и НЕвыпуклого пятиугольника AOBCD.

а) ∠ОВС = ∠ОСВ по условию, значит ΔОВС равнобедренный с основанием ВС, ОВ = ОС.

АС = CD по условию, значит ΔACD равнобедренный с основанием AD, ∠CAD = ∠CDA.

О - середина АС, значит

ОВ = ОС = ОА.

Итак, AD = 2BC (по условию), AC = 2OC и  CD = 2OB, тогда

ΔADC подобен ΔСОВ по трем пропорциональным сторонам. Значит

∠ВСО = ∠DAC, а эти углы накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, значит BC║AD.

б) Коэффициент подобия треугольников ВОС и DAC:

k = 1/2

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Sboc : Sdac = k² = 1/4

Т.е. Sdac = 4Sboc, тогда площадь пятиугольника AOBCD:

Saobcd = Sboc + Sdac = 5Sboc,

Sboc : Saobcd = 1 : 5