1) Если параллелограмм можно вписать в окружность, то он квадрат.
Утверждение неверное.
Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов, равна 180°. Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то каждый из них равен 90°. Поэтому если параллелограмм можно вписать в окружность, то он может быть прямоугольником или квадратом, то есть не всегда квадрат.
2) Средняя линия треугольника делит его площадь пополам.
Утверждение неверное.
Средняя линия треугольника делит его площадь в отношении 1:3, считая от вершины. (Пусть а-основание, h - высота, опущенная на сторону а. Тогда площадь треугольника S = 0.5 ah. Средняя линия, параллельная стороне а, равна 0,5а, а высота, опущенная из вершины треугольника на среднюю линию, равна 0,5h. Тогда площадь отсекаемого средней линией треугольника равна s = 0.5 · 0.5 a · 0.5h = 0.125ah, то есть s = 0,25 S. Площадь другой отсечённой части, представляющей собой трапецию, равна S - 0.25S = 0.75S.
0,25S : 0.75S = 1:3)
3) Если два угла вписаны в одну окружность и опираются на одну ее хорду, то они равны.
Утверждение неверное.
Если два угла вписаны в одну окружность и опираются на одну хорду, то они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды, если же их вершины находятся по разные стороны от хорды, и один из углов равен α, то другой угол равен 180° - α.
4) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Утверждение верное.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон его равны между собой.
Пусть боковая сторона трапеции равна а, тогда сумма боковых сторон равна 2а, и сумма оснований равна 2а. А средняя линия равна полусумме оснований. то есть а.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠ABD = ∠CBD = 90 - 45 = 45°(если треугольник равнобедренный то высота, проведённая из основания к вершине треугольника, является ещё и биссектрисой)
=> ∠АВС - прямой (90°)
Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе равна половине гипотенузы.
1) Если параллелограмм можно вписать в окружность, то он квадрат.
Утверждение неверное.
Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов, равна 180°. Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то каждый из них равен 90°. Поэтому если параллелограмм можно вписать в окружность, то он может быть прямоугольником или квадратом, то есть не всегда квадрат.
2) Средняя линия треугольника делит его площадь пополам.
Утверждение неверное.
Средняя линия треугольника делит его площадь в отношении 1:3, считая от вершины. (Пусть а-основание, h - высота, опущенная на сторону а. Тогда площадь треугольника S = 0.5 ah. Средняя линия, параллельная стороне а, равна 0,5а, а высота, опущенная из вершины треугольника на среднюю линию, равна 0,5h. Тогда площадь отсекаемого средней линией треугольника равна s = 0.5 · 0.5 a · 0.5h = 0.125ah, то есть s = 0,25 S. Площадь другой отсечённой части, представляющей собой трапецию, равна S - 0.25S = 0.75S.
0,25S : 0.75S = 1:3)
3) Если два угла вписаны в одну окружность и опираются на одну ее хорду, то они равны.
Утверждение неверное.
Если два угла вписаны в одну окружность и опираются на одну хорду, то они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды, если же их вершины находятся по разные стороны от хорды, и один из углов равен α, то другой угол равен 180° - α.
4) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Утверждение верное.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон его равны между собой.
Пусть боковая сторона трапеции равна а, тогда сумма боковых сторон равна 2а, и сумма оснований равна 2а. А средняя линия равна полусумме оснований. то есть а.
Дано:
∆АВС.
∠А = 45°
BD - высота, медиана.
АС = 5 см.
Найти:
Расстояние от В до АС.
Решение.
∆ABD и ∆CBD - прямоугольные.(так как BD - высота)
Рассмотрим эти треугольники.
AD = DC, по условию
BD - общая сторона.
=> ∆ABD = ∆CBD, по катетам.
=> ∆АВС - равнобедренный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠ABD = ∠CBD = 90 - 45 = 45°(если треугольник равнобедренный то высота, проведённая из основания к вершине треугольника, является ещё и биссектрисой)
=> ∠АВС - прямой (90°)
Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе равна половине гипотенузы.
=> ВD = 5 ÷ 2 = 2,5 см.
ответ: 2,5 см.