Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна 35o. Чему равна градусная мера вписанного угла? А соответствующего центрального угла? (ответ дать с пояснением)

(Нудная задача. Здесь и далее курсив можно не читать.)
Центр вписанного шара O1 проектируется на основание ABC в центр правильного треугольника ABC (пусть это O2) - это следует из того, что пирамида "переходит в себя" при повороте вокруг SO2 на 120°; Далее, линия соединяющая центры шаров OO1 проектируется на основание на отрезок AO2. Этот отрезок - радиус описанной вокруг ABC окружности, он равен удвоенному радиусу вписанной в ABC окружности и равен высоте пирамиды, поскольку ребро наклонено к основанию под углом в 45°. Далее, прямая BD - это то же самое, что и прямая O2D, где D - середина AC. Ясно, что O2D перпендикулярно плоскости AOD, так как перпендикулярно двум прямым в этой плоскости - AC и OA (OA перпендикулярно всей плоскости ABC).
Поэтому нужный угол - это угол ADO, и для его вычисления надо найти радиус шара с центром в O.
Я обозначу этот радиус R, а радиус вписанного в пирамиду шара r.
1) Пусть радиус ВПИСАННОЙ в ABC окружности равен 1.
То есть O2D = 1; (Это не ограничивает общность.)
Тогда AO2 = 2 = SO2;
сторона основания равна 2√3;
площадь правильного тр-ка в основании Sabc = (2√3)^2*√3/4 = 3√3;
апофема равна SD = √(2^2 + 1^2) = √5;
площадь боковой грани равна 2√3*√5/2 = √15;
площадь полной поверхности пирамиды равна Spol = 3√3(√5 + 1);
объем пирамиды равен V = Sabc*SO2/3 = (3√3)*2/3 = 2√3;
отсюда радиус вписанного в пирамиду шара равен r = 3V/Spol = 2/(√5 + 1);
(Это соотношение совершенно аналогично известному S = pr для треугольника. И получается оно точно так же - надо соединить центр вписанного шара с вершинами и рассматривать пирамиду как сумму - в данном случае - четырех пирамид с высотами, равными радиусу вписанного шара. Отсюда V = Spol*r/3;)
2) Фигура AOO1O2 - прямоугольная трапеция. Её основания равны R и r, а боковые стороны R + r и 2 (вот здесь учитывается касание шаров, ясно, что точка касания лежит на линии центров). Поскольку r уже вычислено, найти R нетрудно. 
(R + r)^2 = (R - r)^2 + 2^2; или 4Rr = 4; R = 1/r; (занятное соотношение);
R = (√5 + 1)/2;
поскольку AD = √3; то искомый угол ADO = Ф имеет тангенс
tg(Ф) = (√5 + 1)/2√3;

Здравствуйте!
когда рассматривают подобие треугольников, один из примеров подобных треугольников как раз этот)))
просто у этой темы есть история... и, если эту историю пропустить, то все дальнейшее становится менее непонятным (как в Вашем случае)))
Итак, прямоугольный треугольник с высотой, проведенной к гипотенузе 
(из вершины прямого угла)))
получилось три прямоугольных треугольника: исходный (АВС) и два ему 
подобных (АСН и ВСН)
важно сначала понять, а потом и запомнить, что все эти три треугольника подобны
в прямоугольном треугольнике сумма острых углов = 90 градусов)))
например, угол В = 90-А
и если тут же рассмотреть треугольник ВСН, то в нем тоже есть угол В, 
значит, угол НСВ = А ⇒ прямоугольные треугольники АВС и НВС подобны)))
аналогично для треугольников АВС и АНС...
угол А -- общий, ⇒ углы В и АСН -- равны))) и эти треугольники подобны)))
и осталось уяснить, что и треугольники АНС и ВНС -- подобны)))
важно увидеть все равные углы в этих треугольниках)))
иначе остальное будет неясно)))

теперь должно стать понятно, что "Углы А и НСВ равны..."
а дальше определение синуса и косинуса)))
и это тоже очень важно сначала понять, а потом и запомнить)))
синус угла = отношению ПРОТИВОлежащего катета к гипотенузе
косинус угла = отношению ПРИлежащего катета к гипотенузе
это определения)))
в любом прямоугольном треугольнике (где стороны называются катетами и гипотенузой))) можно записать эти отношения для острых углов)))
например:
sinA = CB / AB -- из треугольника АВС
sinA = CH / CA -- из треугольника НАС
sinA = sin(HCB) = HB / CB -- из треугольника НВС 
cosA = AC / AB -- из треугольника АВС
cosA = AH / CA -- из треугольника НАС
cosA = cos(HCB) = HC / CB -- из треугольника НВС
все тоже самое можно записать и для угла В )))
это вторая очень важная часть истории)))
и эти формулы используются при решении таких задач)))
т.к. по определению синуса sinA = CH / CA ⇒ 
CH = CA * sinA
теперь из равенства cosA = AC / AB выразим АС...
АС = АВ * cosA и подставим в первое равенство...
СН = АВ * cosA * sinA 
используют именно эти формулы,
т.к. по условию косинус угла А известен, АВ -- дано))) -- т.е. всегда смотрят, что именно дано в условии задачи...
и еще одна важная формула -- основное тригонометрическое тождество:
sin²x + cos²x = 1 -- верно всегда и везде и для любых углов)))
одно слово -- тождество)))
из него, когда нужно, можно и синус выразить
sin²x = 1 - cos²x ⇒ sinx = (+-) √(1 - cos²x)
и косинус...
cos²x = 1 - sin²x ⇒ cosx = +- √(1 - sin²x)
вот... как-то так...