Направляющий вектор прямой а перпендикулярен и нормальному вектору плоскости х-2у+z-4=0, и нормальному вектору плоскости 2х+у-z=0. Таким образом, направляющим вектором прямой а является векторное произведение векторов (1;2;1) и (2;1;-1): Векторное произведение векторов a × b = {ay*bz - az*by; az*bx - ax*bz; ax*by - ay*bx} = i ((-2)·(-1) - 1·1) - j (1·(-1) - 1·2) + k (1·1 - (-2)·2) =
= i (2 - 1) - j (-1 - 2) + k (1 + 4) = {1; 3; 5}. Канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору имеет вид:
Таким образом, уравнение прямой проходящей через точку м0( -4,3,0) и параллельной прямой х-2у+z-4=0, 2х+у-z=0 будет таким:
ω(O1; R1)
ω(O2; R2)
ω(О1;R1)∩ω(O2;R2) = N
AC, BD - общие касательные
A∈ω (O1;R1)
B∈ω(O1; R1)
C∈ω (O2;R2)
D∈ω(O2; R2)
R1 = 12
R2 = 20
AH⊥CD
---------------------
AH - ?
Решение:
Пусть O1E⊥CO2. Тогда AO1CE - прямоугольник, т.к. ∠O1AC = ∠ACO1 = ∠O1EC = 90°.
Тогда AC = O1E - как противоположные стороны прямоугольника.
O1O2 = R1 + R2.
CE = AO1 - опять же, .к. AO1EC - прямоугольник. Тогда CE = R2 - AO1 = R2 - R1.
По теореме Пифагора в ∆O1EC:
O1E = √O1O2² - EO2² = √(R1 + R2)² - (R2 - R1)² = √R1² + 2R1R2 + R2² - R2² + 2R1R2 - R1² = √4R1R2 = 2√R1R2.
∠ACH =1/2UCD - как угол между касательной и хордой.
∠O1O2C = UNC = 1/2UCD (т.к. UNC = UND) - как центральный угол.
Тогда ∠O1O2C = ∠ACD => sinACD = sinO1O2C.
sinO1O2C = O1E/O1O2 = 2√R1R2/(R1 + R2) => sinACD = 2√R1R2/(R1 + R2).
sinACD = AH/AC => AH = sinACD•AC = 2√R1R2•2√R1R2/(R1 + R2) = 4R1R2/(R1 + R2)
Подставляем значения R1 и R2:
AH = 4•12•20/(12 + 20) = 960/32= 30.
ответ: 30.
Векторное произведение векторов a × b = {ay*bz - az*by; az*bx - ax*bz; ax*by - ay*bx} = i ((-2)·(-1) - 1·1) - j (1·(-1) - 1·2) + k (1·1 - (-2)·2) =
= i (2 - 1) - j (-1 - 2) + k (1 + 4) = {1; 3; 5}.
Канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору имеет вид:
Таким образом, уравнение прямой проходящей через точку м0( -4,3,0) и параллельной прямой х-2у+z-4=0, 2х+у-z=0 будет таким: