hELp Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.
Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.
Объяснение:
1) ΔАВС-равнобедренный , ∠А =120°, АС=АВ=х ,∠В=∠С=(180°-120°):2=30° . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. По условию она S.
S=1/2*х*х*sin120 ⇒ х²= 2S: . х= .
По т. синусов , , BC= .
2) Используя правила сложения векторов :
вектор АК=0,5(АВ+АС), вектор ВL=0,5(ВА+ВС). Тогда
Векторы АК*ВL=0,25(АВ*ВА +АВ*ВС +АС*ВА +АС*ВС) .
Посчитаем каждое скалярное произведение
Вектора АВ*ВА=|АВ|*|ВА|*cos180=(4S/√3)*(-1)=
Вектора АВ*ВC=|АВ|*|ВC|*cos150=
Вектора АС*ВА=|АС|*|ВА|*cos60=
Вектора АC*ВС=|АC|*|ВС|*cos30= * * =S√3 .
Для определения угла между векторами, вектора переносились для совмещения начал векторов.Использовались свойства углов параллелограмма, смежных углов ( см. чертеж)
Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.
Объяснение:
1) ΔАВС-равнобедренный , ∠А =120°, АС=АВ=х ,∠В=∠С=(180°-120°):2=30° . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. По условию она S.
S=1/2*х*х*sin120 ⇒ х²= 2S:
. х= 
.
По т. синусов
, 
, BC=
.
2) Используя правила сложения векторов :
вектор АК=0,5(АВ+АС), вектор ВL=0,5(ВА+ВС). Тогда
Векторы АК*ВL=0,25(АВ*ВА +АВ*ВС +АС*ВА +АС*ВС) .
Посчитаем каждое скалярное произведение
Вектора АВ*ВА=|АВ|*|ВА|*cos180=(4S/√3)*(-1)=
Вектора АВ*ВC=|АВ|*|ВC|*cos150=
Вектора АС*ВА=|АС|*|ВА|*cos60=
Вектора АC*ВС=|АC|*|ВС|*cos30=
*
*
=S√3 .
Для определения угла между векторами, вектора переносились для совмещения начал векторов.Использовались свойства углов параллелограмма, смежных углов ( см. чертеж)
АК*ВL=0,25*S(
) =
.