Хелп

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны BC, в точке D. Известно, что AD=DC, косинус угла BCA равен 2/3 и сторона BC = 9. Найдите радиус вписанной окружности.

Показать ответ

Ответ:

avladimirovna324

21.07.2022 06:00

ответ.

ΔАВС , точки Д , К М - точки касания вписанной окружности сторон треугольника , АД=ДС , cosC=2/3 , ВC=9 . Найти r .

Так как АД=ДС , то ΔАДС - равнобедренный . Проведём в нём высоту ДН . Тогда АН=НС . Обозначим АН=НС=х , тогда АС=2х .

И найдём ДС .

ДС=х/cosC=3x/2

Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности равны, то КС=ДС=3х/2 .

Аналогично, ВД=ВМ и АК=АМ .

ВД=ВС-ДС=9-3х/2 , АК=АС-КС=2х-3х/2=х/2

АВ=АМ+ВМ=х/2+(9-3х/2)=9-х

Применим теорему косинусов к ΔАВС .

$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot cosC(9-x)^2=4x^2+81-2\cdot 2x\cdot 9\cdot \dfrac{2}{3}81-18x+x^2=4x^2+81-24x3x^2-6x=0\ \ ,\ \ 3x(x-2)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=2$

Значение 0 не подходит по смыслу . Значит, х=2 .

Стороны треугольника равны $AC=2x=4\ ,\ AB=9-x=9-2=7\ ,\ BC=9$

Известна формула площади треугольника $S=p\cdot r\ \ \Rightarrow \ \ \ r=\dfrac{S}{p}$

Полупериметр треугольника равен p=0,5(4+7+9)=10

Площадь треугольника по формуле Герона равна

$S=\sqrt{10(10-4)(10-7)(10-9)}=\sqrt{10\cdot 6\cdot 3\cdot 1}=6\sqrt{5}$

Радиус вписанной окружности равен $\bf r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6\sqrt{5}}{10}=\bf \dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ .

Хелп В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны BC, в точке D. Известно, что AD=DC, ко

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

ZevsGromov

20.11.2020 08:18

Через вершины а и в прямоугольника авсд проведены параллельные прямые а1а и в1в, не лежащие в плоскости прямоугольника. известно, что аа1 перпендикулярно ав и а1а перпендикулярно...

илья20067

20.11.2020 08:18

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 6 см, а угол при вершине равен 60о....

нануша456

29.03.2021 07:58

Сечение шара плоскостью имеет площадь 36п. чему равен радиус шара, если сечение удалено от его центра на расстояние 8?...

reegiinaaa

29.03.2021 07:58

Впрямоугольнике abcd смежные стороны относятса как 12: 5,а его диагональ равна 26см. чему равна меньшая сторона прямоугольника?...

timofeyzel

29.03.2021 07:58

Впрямоугольнике abcd найдите сторону ad, если диагональ ас = 13 см, а сторона ав = 12 см. 2.боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание 30 см. найдите...

tukacheva88

30.10.2022 06:43

Користуючись рисунком 2: 1) визначте, чи перетинаються прямі МК та а;2) укажіть усі позначені точки, які належать прямій а;прямій МК;3) укажіть усі позначені точки, які не...

deadcreamrus

11.08.2022 04:07

Сторона правильного трикутника дорівнює 4дм . Знайдіть площу трикутника....

khodha

12.03.2023 15:45

на рисунке точки PQRT являются середирами отрезков AB, BC, CD, DA соответственно PQ=2см,BD=8cм .определите вид четырехугольника PQRT и найдите AC и PT...

vikaadvova

24.05.2023 02:21

в окружности проведен диаметр АВ и равные хорды Ас и ВД по разные стороны от диаметра. Докажите что АД параллельно ВС...

MaxHelpMelol

17.04.2021 23:10

Даны длины трёх отрезков. Определи, могут ли эти отрезки быть сторонами треугольника. а. 8; 8; 8. Нет Да б. 8; 11; 12. Нет Да в. 11; 12; 38. Нет Да...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку