2) Треугольник АМС равнобедренный, т.к. СМ равна половине гипотенузы по свойству из п.3 "Что необходимо знать для решения", а АМ равна половине гипотенузы, т.к. СМ - медиана. Отсюда следствие: угол А равен углу АСМ по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.
3) Угол СМН внешний по отношению к треугольнику АМС. Он равен сумме двух внутренних А и АСМ, с ним не смежных. Но А = АСМ как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, А = АСМ = 77o : 2 = 38,5o
4) Один острый угол А треугольника АВС мы нашли. Теперь найдем второй. Сумма острых углов А, В прямоугольного треугольника АВС равна 90o. Значит, В = 90o - А = 90o - 38,5o = 51,5o
А) Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC. Тогда ∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.
Sпов = Sосн + Sбок Sосн = а²√3 /4, где а - сторона основания. Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²
Высота основания: АН = а√3/2 = 3√3/2 см ОН = 1/3 АН = √3/2 см ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 см Sбок = 1/2Pосн · SH. Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см² Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²
б). В ΔSAH проведем АК⊥SH. Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах; АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC. Т.е. АК - искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани. ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см
По условию, МСН = 13°.
1) Сумма острых углов СМН, МСН прямоугольного треугольника НСМ равна 90o. Значит, СМН = 90o - МСН = 90o - 13o = 77o
2) Треугольник АМС равнобедренный, т.к. СМ равна половине гипотенузы по свойству из п.3 "Что необходимо знать для решения", а АМ равна половине гипотенузы, т.к. СМ - медиана. Отсюда следствие: угол А равен углу АСМ по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.
3) Угол СМН внешний по отношению к треугольнику АМС. Он равен сумме двух внутренних А и АСМ, с ним не смежных. Но А = АСМ как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, А = АСМ = 77o : 2 = 38,5o
4) Один острый угол А треугольника АВС мы нашли. Теперь найдем второй. Сумма острых углов А, В прямоугольного треугольника АВС равна 90o. Значит, В = 90o - А = 90o - 38,5o = 51,5o
Больший угол равен 51,5o.
ответ: 51,5°
Тогда ∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.
Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = а²√3 /4, где а - сторона основания.
Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²
Высота основания:
АН = а√3/2 = 3√3/2 см
ОН = 1/3 АН = √3/2 см
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH
SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 см
Sбок = 1/2Pосн · SH.
Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см²
Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²
б).
В ΔSAH проведем АК⊥SH.
Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах;
АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC.
Т.е. АК - искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани.
ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH
AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см