АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.
Для доказательства достаточно показать, что один из углов, например, угол С прямой. Тогда все углы параллелограмма будут прямыми и получится прямоугольник.
Пусть E, F, G и H середины сторон параллелограмма (см. рисунок).
Через пару точек E и F, G и H проведём прямые. Так как точки E и F, G и H середины сторон параллелограмма, то прямые EF || BC и GH || CD.
С другой стороны отрезки EF и GH являются диагоналями ромба EHFG и поэтому пересекаются под прямым углом, то есть EF⊥GH. Но EF || BC и GH || CD, откуда следует, что BC⊥CD, что и требовалось доказать.
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов.
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16.
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6.
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.
Для доказательства достаточно показать, что один из углов, например, угол С прямой. Тогда все углы параллелограмма будут прямыми и получится прямоугольник.
Пусть E, F, G и H середины сторон параллелограмма (см. рисунок).
Через пару точек E и F, G и H проведём прямые. Так как точки E и F, G и H середины сторон параллелограмма, то прямые EF || BC и GH || CD.
С другой стороны отрезки EF и GH являются диагоналями ромба EHFG и поэтому пересекаются под прямым углом, то есть EF⊥GH. Но EF || BC и GH || CD, откуда следует, что BC⊥CD, что и требовалось доказать.