Хорды окружности AB и СD пересекаются в точке M, таким образом, что AM=MB, а DM:MC = 1:4. Найти длину хорды AB если известно, что CM= 20 см.

1)Построим полосу шириной равной первой высоте h1=ВН (построим прямые a и b такие что точка Вa, точка Нb). 2) С центром в точке H проводим окружность радиусом равным данной диагонали АС. При пересечении окружности с прямой a отметим точку С1. Строим прямую НС1. 3) Проводим окружность с центром в точке В, радиусом равным второй высоте h2. На пересечении этой окружности с прямой НС1 отметим точку Н1. 4) Строим прямую с, перпендикулярную прямой ВН1. На пересечении прямой с с прямыми а и b отмечаем точки С и D соответственно – искомые точки параллелограмма. 5) Через точку C проводим прямую d, параллельную НС1. На пересечении прямой d с прямой b отметим точку А. Итак, ABCD – искомый параллелограмм.

АВСD - равнобокая трапеция, АС и ВD диагонали, по условию они перпендикулярны. 
Проведите СК параллельно диагонали ВD. К лежит на продолжении АD. Получится треугольник АСК. Он прямоугольный, потому что угол АСК= углу АОD = 90 градусов. К тому же этот треугольник равнобедренный, потому что в нем СК=АС. FR - основание треугольника.
Проведите высоту этого треугольника с вершины С. Пусть это будет отрезок СМ.
Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, будет чем ? -медианой. Значит, М - середина АК. СМ = 1/2АК = 1/2(АD + DК)
а DК = ВС, как противоположные стороны параллелограмма ВСКD.
Тогда
СМ = 1/2(а + в)
А средняя линия как раз и равна 1/2(а+в)
Значит, высота равна средней линии.