I. Дано: AB= CD, BC= DA, C= 40° (рис. 2.143). Доказать: ABD= CDB. Найти: ZA. 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВСотложены равные отрезки ВМи BN. BD - медиана треугольника. Докажите, что MD = ND.
D
Рис. 2.143
400
3. В треугольниках АВС и А,В,С, АВ= А,В, ZA, ZB=
Точки D и D, лежат соответственно на сторонах АС и А,С,, причем CD = D.
Докажите, что BDC = D,C,. Сравните BD и B,D,.
Для доказательства равенства углов ABD и CDB, воспользуемся следующей информацией:
- Из условия задачи известно, что AB = CD. Значит, стороны AB и CD равны друг другу.
- Также известно, что BC = DA. Значит, стороны BC и DA равны друг другу.
- Известно, что C = 40°.
Посмотрим на треугольник ABD. Он имеет две равные стороны AB и AD, так как их равенство следует из условия задачи. Также, из условия задачи известно, что угол C равен 40°.
Таким образом, треугольник ABD - это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами и равным углом. Из свойств равнобедренных треугольников следует, что углы, лежащие против равных сторон, также равны. Поэтому угол ABD равен углу ADB.
Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Он имеет две равные стороны BC и CD, так как их равенство следует из условия задачи. Из известного угла C = 40°, следует, что угол DBC равен углу DCB.
Теперь сравним углы ABD и CDB:
- Угол ABD равен углу ADB (из доказательства выше).
- Угол CDB равен углу DBC (из доказательства выше).
Таким образом, угол ABD равен углу CDB.
Чтобы найти значение угла ZA, рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике сумма всех углов должна быть равна 180°. Поэтому угол A + угол B + угол C = 180°. Известно, что C = 40°, поэтому можем записать: угол A + угол B + 40° = 180°. Отсюда можно выразить угол A: угол A = 180° - угол B - 40°.
Теперь рассмотрим треугольник A,Z,B. В этом треугольнике сумма всех углов также должна быть равна 180°. Поэтому угол A + угол Z + угол B = 180°. Заменим угол A на 180° - угол B - 40°: 180° - угол B - 40° + угол Z + угол B = 180°. Углы B сокращаются в этом уравнении и остается: 180° - 40° + угол Z = 180°. Сокращаем 180° на обеих сторонах и получаем: угол Z = 40°.
Таким образом, угол ZA равен 40°.
2. В данной задаче нам нужно доказать, что MD = ND. Здесь у нас есть равнобедренный треугольник ABC, у которого стороны BM и BN равны между собой.
Посмотрим на треугольник ABD. У него сторона BD является медианой треугольника. Известно, что медиана треугольника делит соответствующую сторону пополам. Поэтому, BD = DM + AM.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него сторона BM равна стороне BN (из условия задачи). Значит, у этих сторон одинаковая длина и углы BMA и BNA также равны как вертикальные углы.
Аналогично, рассмотрим треугольник ABD. У него сторона BM равна стороне BN (из условия задачи) и углы BMA и BNA равны. Значит, треугольники BMA и BNA равны друг другу по двум сторонам и одному углу. Из свойства равных треугольников следует, что углы MAD и NAD равны, а стороны MD и ND также равны.
Таким образом, MD = ND.
3. В данной задаче нам нужно доказать, что BDC = D,C, и сравнить стороны BD и B,D,.
Рассмотрим треугольники ABC и A, B, C, у которых сторона AB равна стороне A, B (из условия задачи).
Очевидно, что треугольник ABC и треугольник A, B, C являются равными, так как у них углы и стороны равны друг другу.
Теперь рассмотрим треугольник ABD (по условию задачи). Из него следует, что угол ABD равен углу ADB (из доказательства в задаче 1).
Аналогично, рассмотрим треугольник BDC (по условию задачи). В нем сторона BD равна стороне B, D(из условия задачи) и угол BDC равен углу DBC (из доказательства в задаче 1).
Таким образом, треугольник ABD и треугольник BDC являются равными, так как у них углы и стороны равны друг другу (из доказательства выше).
Сравним стороны BD и B, D,.
Из условия задачи известно, что сторона BD - медиана треугольника ABC.
Медиана треугольника делит соответствующую сторону пополам, поэтому BD = DM + AM.
Также из условия задачи известно, что сторона B, D, - отрезок, который отложен на стороне BC и равен отрезку BM.
Таким образом, BD = DM + AM, а B, D, = BM.
Из рассмотрения треугольника ABC следует, что сторона BM равна стороне AM (так как они отложены на равных сторонах треугольника ABC), а значит BM = AM.
Подставляем это в равенство BD = DM + AM:
BD = DM + BM.
Таким образом, сторона BD равна сумме сторон DM и BM, а сторона B, D, равна стороне BM.
Из этого следует, что BD = B, D,.
Таким образом, стороны BD и B, D, равны друг другу, что подтверждает равенство треугольников ABD и BDC.
Все доказано и решено.