I
В прямоугольной трапеции ABCD (BC || AD) угол А - прямой, ВС = a, угол BCD в 2 раза больше угла CDA, диагональ BD - биссектриса угла угла CDA. Найдите основание AD.
Варианты ответа:
1) а
2) 1,5а
3) 2а
4) 2,5а
II
Угол между меньшей диагональю и стороной ромба делиться его высотой пополам. найдите периметр ромба если меньшая диагональ равна 15 см. ответ дайте в сантиметрах.

I. Чтобы решить задачу, следуем следующим шагам:

1. Обозначим:
- В точке D проведем высоту DM на сторону AB.
- В точке M проведем биссектрису угла CMD, которая пересекает сторону CD в точке N.
- Пусть угол CDA равен x.
- Также, угол BCD будет равен 2x.

2. Поскольку BC || AD, значит угол DMA будет равен прямому углу.

3. Так как DM - высота, то треугольник DCM равнобедренный и угол CMD будет равен углу CDM. То есть, x = CMD.

4. Поскольку BD - биссектриса угла CDA, то треугольник BDN также будет равнобедренным и угол NDB будет равен углу NBD. То есть, угол NDB будет равен x. Обратите внимание, что угол NBD также будет равен 2x, поскольку он вертикально противолежащий углу BCD.

5. Рассмотрим треугольник NBD. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов, поэтому x + 2x + x = 180.
При суммировании получаем 4x = 180.
Разделив обе стороны на 4, получаем x = 45 градусов.

6. Теперь у нас есть значение угла CDA, равное 45 градусов.

7. Так как угол BCD равен 2x = 2 * 45 = 90 градусов, то это прямоугольная трапеция.

8. В прямоугольной трапеции прямые углы в смежных углах диагоналей равны.

9. Угол внутри треугольника BCD равен 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

10. Угол между прямым углом и основанием AD равен 180 - 45 = 135 градусов.

11. Так как BC || AD, а угол BCD равен 45 градусов, то в треугольнике BCD угол BDC также будет равен 45 градусов.

12. Из свойств прямоугольного треугольника BDC следует, что угол CBD будет равен 90 - 45 = 45 градусов.

13. Таким образом, треугольник BCD является равнобедренным с двумя углами, равными 45 градусов.

14. Значит, сторона BC равна стороне CD. Пусть эта сторона равна a.

15. Так как BC = CD = a, то сторона CD = a.

16. Также, у нас есть информация о диагонали BD, которая является биссектрисой угла CDA.

17. Из свойств биссектрисы следует, что отношение отрезков AD и DB равно отношению синусов противолежащих углов, то есть AD/DB = sin(45)/sin(45).

18. Так как sin(45) = sqrt(2)/2, то AD/DB = (sqrt(2)/2)/(sqrt(2)/2) = 1.

19. Поэтому AD = DB.

20. Если CD = a и AD = DB, то сумма сторон AD и DC равна 2a.

21. Поэтому ответ на вопрос равен 3). Основание AD равно 2a.

II. Для того чтобы решить задачу, следуем следующим шагам:

1. Обозначим:
- Меньшую диагональ ромба как d.
- Высоту ромба как h.

2. Условие говорит, что угол между меньшей диагональю и стороной ромба делится его высотой пополам.

3. То есть, синус угла между d и стороной ромба равен синусу половины этого угла.

4. Воспользуемся формулой половинного угла для синуса: sin(x/2) = sqrt((1 - cos(x))/2).

5. Заменим sin(x/2) на синус угла между d и стороной ромба, а cos(x) на cos(90 - x), поскольку угол между диагональю и стороной ромба является дополнительным к углу между меньшей диагональю и стороной ромба.

6. То есть, sin(угла между d и стороной ромба) = sqrt((1 - cos(90 - угла между d и стороной ромба))/2).

7. Обозначим угол между d и стороной ромба как α.

8. Тогда sin(α) = sqrt((1 - cos(90 - α))/2).

9. Заменим cos(90 - α) на sin(α): sin(α) = sqrt((1 - sin(α))/2).

10. Возведем обе стороны уравнения в квадрат: sin^2(α) = (1 - sin(α))/2.

11. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2 * sin^2(α) = 1 - sin(α).

12. Перенесем все слагаемые влево: 2 * sin^2(α) + sin(α) - 1 = 0.

13. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем заметить, что это квадратное уравнение вида 2t^2 + t - 1 = 0, где t = sin(α).

14. Разложим уравнение на множители: (2t - 1)(t + 1) = 0.

15. Таким образом, t = sin(α) = 1/2 или t = sin(α) = -1 (но отрицательный синус не может быть углом).

16. Значит, sin(α) = 1/2.

17. Так как sin(α) = d/h, то d/h = 1/2.

18. Зная, что d = 15 см, мы можем найти высоту h, так как h = 2d.

19. Подставляя значение d = 15 см, получаем h = 2 * 15 см = 30 см.

20. Периметр ромба равен 4 * a, где a - сторона ромба.

21. Так как сторона ромба равна d (меньшей диагонали), то периметр ромба равен 4 * d.

22. Подставляя значение d = 15 см, получаем периметр ромба = 4 * 15 см = 60 см.

23. Ответ на вопрос равен 60 см.