В прямоугольном треугольнике больший угол равен 90°. Гипотенуза лежит против угла 90°. Против большего угла лежит большая сторона, • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из катетов. a < c > b
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на подобные треугольники.
• Если катет, лежит против угла 30°, он равен половине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• Высота, проведенная к гипотенузе, - есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу ( т.е. между проекциями катетов на гипотенузу)
• Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Задача 1) Соединив центры О и М окружностей между собой и каждый из них с точкой касания, получим два треугольника с общей вершиной в точке А на отрезке между точками касания окружностей c прямой. Радиус, проведенный к касательной в точку касания, перпендикулярен ей ( свойство), Получившиеся прямоугольные треугольники подобны по равным вертикальным углам и накрестлежащим у их центров. Пусть радиус меньшей окружности будет r, а большей - R, и пусть часть отрезка между их точками касания у меньшей окружности будет х. Тогда отрезок у большей окружности 5-х ( см. рисунок) Тогда из подобия треугольников следует отношение: r:R=х:(5-х) 4:8=х:(5-х) 8х=20-4х 12х=20 х=5/3 - длина отрезка у меньшей окружности 5-5/3=10/3 длина отрезка у большей окружности По т.Пифагора ОА²=4²+(5/|3)² ОА²=16+25/9=169/9 ОА=13/3 Из треугольника в большей окружности МА²=8²+(10/3)²=676/9 МА=26/3 ОА+МА=13/3+26/3=39/3=13 ОМ=13 см ------- Задача 2 )Трапеция равнобедренная, следовательно, углы при основаниях равны. Т.к. диагональ делит трапецию на равнобедренные треугольники, то для острого угла она является биссектрисой (углы при ВД равны по свойству равнобедренной трапеции, и угол СВД равен половине угла СДА как накрестлежащий) Пусть угол СДВ=х Тогда угол ВАД=СДА=2х Угол АВД=ВАД=2х В треугольнике АВД сумма углов 2х+2х+х=180º х=36º 2х=72º Углы ВАД=СДА=72º
• Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из катетов. a < c > b
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника 180°-90°=90°
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на подобные треугольники.
• Если катет, лежит против угла 30°, он равен половине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора):
c²=a²+b²
• Высота, проведенная к гипотенузе, - есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу ( т.е. между проекциями катетов на гипотенузу)
• Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Соединив центры О и М окружностей между собой и каждый из них с точкой касания, получим два треугольника с общей вершиной в точке А на отрезке между точками касания окружностей c прямой.
Радиус, проведенный к касательной в точку касания, перпендикулярен ей ( свойство),
Получившиеся прямоугольные треугольники подобны по равным вертикальным углам и накрестлежащим у их центров.
Пусть радиус меньшей окружности будет r, а большей - R, и пусть часть отрезка между их точками касания у меньшей окружности будет х.
Тогда отрезок у большей окружности 5-х ( см. рисунок)
Тогда из подобия треугольников следует отношение:
r:R=х:(5-х)
4:8=х:(5-х)
8х=20-4х
12х=20
х=5/3 - длина отрезка у меньшей окружности
5-5/3=10/3 длина отрезка у большей окружности
По т.Пифагора
ОА²=4²+(5/|3)²
ОА²=16+25/9=169/9
ОА=13/3
Из треугольника в большей окружности
МА²=8²+(10/3)²=676/9
МА=26/3
ОА+МА=13/3+26/3=39/3=13
ОМ=13 см
-------
Задача 2
)Трапеция равнобедренная, следовательно,
углы при основаниях равны.
Т.к. диагональ делит трапецию на равнобедренные треугольники, то для острого угла она является биссектрисой (углы при ВД равны по свойству равнобедренной трапеции, и угол СВД равен половине угла СДА как накрестлежащий)
Пусть угол СДВ=х
Тогда угол ВАД=СДА=2х
Угол АВД=ВАД=2х
В треугольнике АВД сумма углов
2х+2х+х=180º
х=36º
2х=72º
Углы ВАД=СДА=72º