Ромб ABCD, точка пересечения диагоналей О, К - точка на стороне АВ. АК=2 ВК=8 1- рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. У него АВ=10см (т. к. АК+ВК=2+8=10). А катеты АО и ВО примем АО=х, ВО= у 2- из теоремы пифагора (квадрат гипотенузы (АВ^2) равен сумме квадратов катетов (АО^2+ВО^2)) ( X)^2 означает X в квадрате т. е. АВ^2=AO^2+BO^2. подставим нашу замену получим 10^2=x^2+y^2, 100=x^2+y^2 3- рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. Его стороны это АК=2, ОК и АО=x в нем тоже по теореме пифагора получаем: AO^2=AK^2+OK^2, подставим значения получим x^2 = 2^2 + OK^2 x^2 = 4 + OK^2 4- рассмотрим прямоугольный треугольник BOK. Его стороны это BК=8, ОК и BО=y в нем тоже по теореме пифагора получаем: BO^2=BK^2+OK^2, подставим значения получим y^2 = 8^2 + OK^2 y^2 =64 + OK^2
Рассмотрим уравнения из пункта 3 и 4 x^2 = 4 + OK^2 y^2 =64 + OK^2 Выразим из каждого OK^2, получим OK^2=x^2-4 OK^2=y^2-64 получаем x^2-4=y^2-64 x^2=y^2-60 Решим теперь систему уравнений x^2=y^2-60 100=x^2+y^2 (уравнение из пункта 2) Подставим полученное x^2 в уравнение из пункта 1, получим систему x^2=y^2-60 100=y^2-60+y^2
x^2=y^2-60 2*y^2=160
x^2=y^2-60 y^2=80 Теперь подставим y^2=80 в первое уравнение системы, получим систему
x^2=80-60 y^2=80
x^2=20 y^2=80 __ x=2 V 5 (два корня из пяти) __ y=4 V 5 (четыре корня из пяти)
ответ: __ __ __ __ Диагонали ромба это АС=2*x = 2*2 V 5 = 4V 5 и BD=2*y= 2*4 V 5 = 8 V 5
Теорема.
(1-й признак ромба)
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AC и BD — диагонали,
Доказать:
ABCD — ромб.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники ABO и CBO.
∠AOB=∠COB=90º (так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны).
AO=CO (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам).
BO — общий катет.
Следовательно, треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам).
2) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:
AB=BC.
3) CD=AB, AD=BC (как противолежащие стороны параллелограмма).
4) Имеем: ABCD — параллелограмм (по условию),
AB=BC=AD=CD (по доказанному).
Следовательно, ABCD- ромб (по определению).
Что и требовалось доказать.
АК=2
ВК=8
1- рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. У него АВ=10см (т. к. АК+ВК=2+8=10). А катеты АО и ВО примем АО=х, ВО= у
2- из теоремы пифагора (квадрат гипотенузы (АВ^2) равен сумме квадратов катетов (АО^2+ВО^2)) ( X)^2 означает X в квадрате
т. е. АВ^2=AO^2+BO^2. подставим нашу замену получим 10^2=x^2+y^2, 100=x^2+y^2
3- рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. Его стороны это АК=2, ОК и АО=x
в нем тоже по теореме пифагора получаем: AO^2=AK^2+OK^2, подставим значения получим x^2 = 2^2 + OK^2 x^2 = 4 + OK^2
4- рассмотрим прямоугольный треугольник BOK. Его стороны это BК=8, ОК и BО=y
в нем тоже по теореме пифагора получаем: BO^2=BK^2+OK^2, подставим значения получим y^2 = 8^2 + OK^2 y^2 =64 + OK^2
Рассмотрим уравнения из пункта 3 и 4
x^2 = 4 + OK^2
y^2 =64 + OK^2
Выразим из каждого OK^2, получим
OK^2=x^2-4
OK^2=y^2-64
получаем
x^2-4=y^2-64
x^2=y^2-60
Решим теперь систему уравнений
x^2=y^2-60
100=x^2+y^2 (уравнение из пункта 2)
Подставим полученное x^2 в уравнение из пункта 1, получим систему
x^2=y^2-60
100=y^2-60+y^2
x^2=y^2-60
2*y^2=160
x^2=y^2-60
y^2=80
Теперь подставим y^2=80 в первое уравнение системы, получим систему
x^2=80-60
y^2=80
x^2=20
y^2=80
__
x=2 V 5 (два корня из пяти)
__
y=4 V 5 (четыре корня из пяти)
ответ: __ __ __ __
Диагонали ромба это АС=2*x = 2*2 V 5 = 4V 5 и BD=2*y= 2*4 V 5 = 8 V 5