См чертеж. У меня немного другие обозначения, ну, я думаю - разберетесь, я делал чертеж к другой задаче.
Радиус ВПИСАННОЙ окружности найти можно легко без труда по формуле
r = 2*S/P, где S - площадь треугольника, Р - периметр.
(эта формула легко находится, если соединить центр вписанной окружности с вершинами и сложить площади 3 полученных треугольников, у которых основаниями будут стороны, а высотами - радиусы в точку касания. Это даже не 8 класс:))
S = 12*8/2 = 48; P = 10 + 10 + 12 = 32; r = 2*48/32 = 3;
Чуть-чуть труднее найти R - радиус описанной окружности.
(есть стандартная формула R = abc/4S, которую тоже очень просто получить, но нужно знать теорему синусов, поэтому рассмотрим более простой на чертеже нарисован треугольник и необходимое дополнительное построение. Высота продолжается за точку пересечения с основанием, и из точки В проводится пепендикуляр к боковой стороне. Эти прямые пересекутся в точке, лежащей на описанной окружности.
В самом деле, центр обязательно лежит на высоте (медиане, биссектрисе) равнобедренного треугольника (раз есть ось симметрии, то центр обязательно должен лежать на ней. В противном случае у нас было бы ДВА центра! Второй получался, как симметричный относительно высоты :)). С другой стороны, вписанный прямой угол (на чертеже это КВА) должен опираться на диаметр окружности. Поэтому АК - диаметр.
Далее (напоминаю, мои обозначения немного другие, будьте внимательны) Треугольники АВЕ и АВК прямоугольные с общим углом. То есть они подобны.
Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим d — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n − 3 диагонали; перемножим это на число вершин n, получим (n -3 ) n.
Но так как каждая диагональ посчитана дважды ( по разу для каждого конца, то получившееся число надо разделить на 2.
d=(n² - 3n):2 По этой формуле нетрудно найти,что
d (5)=(5²-15):2=5 d (6)=(6²-18):2=9 d(7)=(7²-21):2=14 d(10)=(10² -30):2=35
См чертеж. У меня немного другие обозначения, ну, я думаю - разберетесь, я делал чертеж к другой задаче.
Радиус ВПИСАННОЙ окружности найти можно легко без труда по формуле
r = 2*S/P, где S - площадь треугольника, Р - периметр.
(эта формула легко находится, если соединить центр вписанной окружности с вершинами и сложить площади 3 полученных треугольников, у которых основаниями будут стороны, а высотами - радиусы в точку касания. Это даже не 8 класс:))
S = 12*8/2 = 48; P = 10 + 10 + 12 = 32; r = 2*48/32 = 3;
Чуть-чуть труднее найти R - радиус описанной окружности.
(есть стандартная формула R = abc/4S, которую тоже очень просто получить, но нужно знать теорему синусов, поэтому рассмотрим более простой на чертеже нарисован треугольник и необходимое дополнительное построение. Высота продолжается за точку пересечения с основанием, и из точки В проводится пепендикуляр к боковой стороне. Эти прямые пересекутся в точке, лежащей на описанной окружности.
В самом деле, центр обязательно лежит на высоте (медиане, биссектрисе) равнобедренного треугольника (раз есть ось симметрии, то центр обязательно должен лежать на ней. В противном случае у нас было бы ДВА центра! Второй получался, как симметричный относительно высоты :)). С другой стороны, вписанный прямой угол (на чертеже это КВА) должен опираться на диаметр окружности. Поэтому АК - диаметр.
Далее (напоминаю, мои обозначения немного другие, будьте внимательны) Треугольники АВЕ и АВК прямоугольные с общим углом. То есть они подобны.
Получается АК/AB = AB/AE; 2*R = 10^2/8; R = 25/4;
Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим d — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n − 3 диагонали; перемножим это на число вершин n, получим (n -3 ) n.
Но так как каждая диагональ посчитана дважды ( по разу для каждого конца, то получившееся число надо разделить на 2.
d=(n² - 3n):2 По этой формуле нетрудно найти,что
d (5)=(5²-15):2=5
d (6)=(6²-18):2=9
d(7)=(7²-21):2=14
d(10)=(10² -30):2=35