Из капли мыльного раствора радиусом 1,8мм мальчик выдул шар радиусом 122мм. Вычисли толщину мыльной плёнки получившегося шара. Значение числа π в вычислениях округли до 3. Полученный результат округли до шести знаков после запятой.

По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки А(3; -4) в 3 раза большего, чем от точки М до прямой х = 5.

√((3 - x)² + (y - (-4))²) = |3*(5 - x)|.

Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных правее линии х = 5.

Возведём обе части в квадрат.

9 - 6x + x² + y² + 8y + 16 = 9*(25 - 10x + x²).,

Приведём подобные: 8x² - 84x - y² - 8y + 200 = 0.

Выделим полные квадраты.

8(x² - 10,5x + 5,25²) - 8*5,25² - (y² + 8y + 16) - 16 + 200 = 0.

8(x - (21/4))² - (y + 4)² = (9/2).

Разделим обе части на (9/2).

((x - (21/4))²)/(9/16) - ((y + 4)²)/(9/2) = 1.

Получено искомое уравнение. Это уравнение гиперболы.

Центр её расположен в точке ((21/4); -4).

Полуоси: действительная равна а =√(9/16) = 3/4, мнимая b = 3/√2.

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами  

Определим параметр c: c² = a² + b² = 9/16 + 9/2 = 81/16 .

c = 9/4.  

Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = (9/4)/(3/4) = 3.

Более детальное решение приведено во вложении. Там же дан график полученной линии.

Два решения

1)

Из треугольников  ABC, ACD соответственно по теор синусов  

CAB=a

CAD=b

BC/sina=AC/sin(a+2b)  

CD/sinb=AC/sin(2b+a)  

но BC=CD , тогда

sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)

sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0

cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0

cos(a+3b)=cos(b+3a)

a+3b=b+3a

2b=2a

a=b  

CAB=CAD

2)

 Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как  CB=CD точка А перейдет в себя, тогда  AB=AD тогда  треугольники ABC=ACD  откуда

 180-2a-b=180-2b-a

3a=3b

a=b