Из пункта А в пункт В ездили через пункт С, причем участок АС≈ 13,6км, СВ ≈8,8км, ∠АСВ ≈ 125 градусов. Затем пункты А и В соединили прямолинейной дорогой. На сколько сократится путь из А в В?
AB = BN, значит ΔABN равнобедренный, углы при основании равны: ∠BAN = ∠BNA = (180° - 30°)/2 = 75°
∠NAD = 90° - ∠BAN = 90° - 75° = 15°
2. ∠BAF = ∠DAF так как AF - биссектриса, ∠DAF = ∠BFA как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей AF, ⇒ ∠BAF = ∠BFA, треугольник BAF равнобедренный, АВ = BF = 2 см
∠CFE = ∠AFB как вертикальные ∠CEF = ∠BAF как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АЕ, ∠AFB = ∠BAF как доказано выше, ⇒ ∠CFE = ∠CEF, ⇒ треугольник CFE равнобедренный, CF = CE = 3 см
АВ = 2 см ВС = 2 + 3 = 5 см Pabcd = (AB + BC)·2 = (2 + 5)·2 = 14 см
3. В треугольнике АВЕ АВ = 5 см, АЕ = 3 см, ВЕ = 4 см, значит это прямоугольный (египетский) треугольник, значит ВЕ - высота трапеции. ЕВСК - прямоугольник (ВЕ = СК как высоты трапеции, ВЕ║СК как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ ЕК = ВС = 6 см.
ВС = 6 см AD = 3 + 6 + 1 = 10 см
Sabcd = (AD + BC)/2 · BE = (10 + 6)/2 · 4 = 32 см²
Для того, чтобы четырёхугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон: a + c = b + d.
А учитывая, что трапеция равнобедренная, то получаем
24=2* 4\7х*корень(7), откуда
х=3*корень(7)
AK=3\7*корень(7)*х=3\7*корень(7)* 3*корень(7)=9 м
Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты, поэтому
∠NBC = 60°
∠ABN = 90° - ∠NBC = 30°
AB = BN, значит ΔABN равнобедренный, углы при основании равны:
∠BAN = ∠BNA = (180° - 30°)/2 = 75°
∠NAD = 90° - ∠BAN = 90° - 75° = 15°
2. ∠BAF = ∠DAF так как AF - биссектриса,
∠DAF = ∠BFA как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей AF, ⇒ ∠BAF = ∠BFA, треугольник BAF равнобедренный,
АВ = BF = 2 см
∠CFE = ∠AFB как вертикальные
∠CEF = ∠BAF как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АЕ,
∠AFB = ∠BAF как доказано выше, ⇒
∠CFE = ∠CEF, ⇒ треугольник CFE равнобедренный,
CF = CE = 3 см
АВ = 2 см
ВС = 2 + 3 = 5 см
Pabcd = (AB + BC)·2 = (2 + 5)·2 = 14 см
3. В треугольнике АВЕ АВ = 5 см, АЕ = 3 см, ВЕ = 4 см, значит это прямоугольный (египетский) треугольник, значит ВЕ - высота трапеции.
ЕВСК - прямоугольник (ВЕ = СК как высоты трапеции, ВЕ║СК как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ ЕК = ВС = 6 см.
ВС = 6 см
AD = 3 + 6 + 1 = 10 см
Sabcd = (AD + BC)/2 · BE = (10 + 6)/2 · 4 = 32 см²
Решение: Пусть ABCD – данная равнобедренная трапеция, AB||CD, BC=AD, AB<CD.
ME=12 м-средняя линия трапеции.
Косинус угла при основании равен корень(7)\4 , значит этот угол при большем основании(косинус острого угла) cos (ADC)=корень(7)\4.
Проведем высоту AK к основанию СD.
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому
AB+CD=2*ME=2*12 =24 м.
Пусть DK=x м.Тогда DK\AD=cos (ADC).
AD=DK\cos (ADC)=x\ корень(7)\4=4\7х*корень(7)
Тогда по теореме Пифагора
AK=корень (AD^2-DK^2)= корень((4\7х*корень(7))^2-х^2)=
=3\7*корень(7)*х
Для того, чтобы четырёхугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон: a + c = b + d.
А учитывая, что трапеция равнобедренная, то получаем
24=2* 4\7х*корень(7), откуда
х=3*корень(7)
AK=3\7*корень(7)*х=3\7*корень(7)* 3*корень(7)=9 м
Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты, поэтому
Радиус вписанной окружности рамен 9\2=4.5 м
ответ: 4.5 м