Из точек а и в, которые лежат в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры аа1 и вв1 на линию пересечения. найти ав, если ав1=7, ва1=5, а1в1=√10.

Построим высоту СН к стороне АВ. 
в прямоугольном треугольнике СВН угол В = 45 градусов (по условию), тогда угол ВСН = 90 - 45 = 45 градусов => треугольник равнобедренный, ВН = СН.
известно, что ВС = 6, пусть АН = ВН = х, 
тогда по теореме Пифагора ВС^2 = ВН^2 + СН^2
36 = х^2 + x^2; 36 = 2x^2; x^2 = 18; х = корень из 18; 

треугольник АНС - прямоугольный. 
угол А = 60 градусов (по условию), тогда угол НСА = 90 - 60 = 30 градусов.
пусть АС = 2х, тогда АН = х (так как катет, лежащий против угла, равного 30 градусов, равен 1/2 гипотенузы).
по теореме Пифагора АС^2 = АН^2 + НС^2
4х^2 = 18 + х^2; 4х^2 - х^2 = 18; 3х^2 = 18; х^2 = 6; х = корень из 6; 
тогда Ас = 2х = 2 корня из 6
ответ: 2 корня из 6

Диагональ В₁С  боковой грани ВВ₁С₁С параллелепипеда по условию  перпендикулярна плоскости основания и равна 5√3 ⇒ перпендикулярна  ВС.  Треугольник В1СВ - прямоугольный, угол В₁ВС =60° 

В₁В=В₁С:sin (60°)=5√3):(√3)/2=10

Сторона основания ВС - катет треугольника ВСВ₁, противолежащий углу 30° и равна  половине длины ребра ВВ₁

ВС=5

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, половина одной из них равна 3 по условию. Треугольник ОВС - египетский,⇒ 

ВО=4,⇒ ВD=2*ВО=8 (можно проверить по т. Пифагора)

Площадь ромба в основании равна половине произведения диагоналей. 

S (ABCD)=0,5*6*8=24

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту

 Поскольку высотой параллелепипеда является отрезок, перпендикулярный  основанию, В₁С равен высоте параллелепипеда.  

V=24*5√3=120√3 (единиц объема)