Из точек а и в лежащив в двух перпендикулярно плоскостях отпущены перпендикуляр ав и вд на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка ав если ас равен корень из 111, сд = 8, вд = 15.

Катет первого прямоугольного треугольника равен Х=√(10²-6²)=8.
Площадь первого треугольника равна половине произведения катетов, т.е
S=1/2*(6*8)=24
Площадь первого треугольника относится к площади подобного как 1:3, т.к
S1/S2=72/24=3.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е.  катеты относятся:
                      3=(А2В2/А1В1)²        3=(А2В2/6)²     А2В2=6√3  ---катет
                      3= (А2С2/А1С1)²       3=(А2С2/8)²     А2С2=8√3  -----катет
гипотенузы относятся:
                       3=(В2С2/В1С1)²       3=(В2С2/10)²   B2C2=10√3 -------гипотенуза
Проверяем найдём площадь второго треугольника:
S2=1/2*(6√3*8√3)=72
Наибольшая сторона равна 10√3

Трапеция АВСД, у которой АД-нижнее основание, ВС- верхнее основание.
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная (АВ=СД).
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (АД+ВС=АВ+СД). Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности (ВН=2*6=12)
Средняя линия трапеции МК параллельна основаниям и равна их полусумме (МК=(АД+ВС)/2 или АД+ВС=2МК=2*13=26).
Тогда боковые стороны равны АВ+СД=26, значит АВ=СД=26/2=13.
Из прямоугольного ΔАВН найдем АН=√(АВ²-ВН²)=√(13²-12²)=√25=5.
В равнобедренной трапеции АД=ВС+2АН=ВС+10.
Подставим это в АД+ВС=26, получаем
ВС+10+ВС=26
ВС=16/2=8
АД=8+10=18
ответ: стороны 13, 8, 13, 18.