Из точки А к плоскости α проведены два отрезка АС и АВ . Точка D принадлежит АВ, точка Е принадлежит АС. DЕ параллельна α и равна 5 см. Найти длину отрезка ВС, если AD/BD=1/3
Добрый день! Давайте решим задачу постепенно, чтобы было понятно.
У нас есть точка А и плоскость α. От точки А проведены два отрезка – АС и АВ. Также есть точка D, которая принадлежит отрезку АВ, и точка Е, которая принадлежит отрезку АС. Дано, что отрезок DE параллелен плоскости α и его длина равна 5 см. Нужно найти длину отрезка ВС, зная, что отношение AD к BD равно 1/3.
Шаг 1: Обозначим длину отрезка АС как х и длину отрезка АВ как у.
Шаг 2: Так как отношение AD к BD равно 1/3, значит, AD = y/4 и BD = y/3. (Мы разделили у на 3 и у на 4, потому что в данной задаче отношение AD к BD равно 1/3.)
Шаг 3: Посмотрим на треугольник ADE. Мы знаем, что DE параллелен плоскости α, поэтому у этого треугольника у нас есть две параллельные стороны: DE и AC. Они образуют пропорциональные отрезки.
Шаг 4: Коэффициент пропорциональности равен 5/х, где х – длина отрезка AC. Теперь мы можем записать пропорцию: DE/AC = y/4х.
Шаг 5: Заметим, что DE = 5 см, значит, можно заменить DE на 5:
5/AC = y/4х.
Шаг 6: Решим пропорцию относительно х: 5/AC = y/4х.
Перемножим числитель и знаменатель на 4х:
(5*4х)/AC = y.
Шаг 7: Получили выражение для у:
у/3 = (5*4х)/AC.
Шаг 8: Теперь можно решить пропорцию относительно АС: у/3 = (5*4х)/AC.
Умножим числитель и знаменатель на 3:
3у/3 = (5*4х*3)/(AC*3).
у = 20х/AC.
Шаг 9: У нас есть два выражения для у: у = y/3 и y = 20х/AC. Приравняем их друг к другу:
y/3 = 20х/AC.
Шаг 10: Теперь нам нужно решить это уравнение относительно х. Умножим обе части на у и AC:
y^2 = 60х.
Шаг 11: Так как у нас есть еще одно уравнение для у, у = 20х/AC, мы можем подставить его вместо у в предыдущем уравнении:
(20х/AC)^2 = 60х.
Шаг 12: Возведем это в квадрат:
400х^2/AC^2 = 60х.
Шаг 13: Умножим обе части уравнения на AC^2:
400х^2 = 60х*AC^2.
Шаг 14: Деля обе части на 60х:
400х/60х = AC^2.
Шаг 15: Упростим:
10/3 = AC^2.
Шаг 16: Возведем в квадрат:
AC = √(10/3).
Теперь у нас есть значение длины отрезка AC.
Шаг 17: Наконец, можно найти длину отрезка ВС.
Из условия задачи, AD/BD = 1/3. Подставим найденные значения AD и BD:
у/3 = (5*4х)/AC.
Шаг 18: Подставим значение у = 20х/AC:
(20х/AC)/3 = (5*4х)/AC.
Шаг 19: Упростим:
20х/3AC = 20х.
Шаг 20: Для этих значений должно выполняться равенство:
У нас есть точка А и плоскость α. От точки А проведены два отрезка – АС и АВ. Также есть точка D, которая принадлежит отрезку АВ, и точка Е, которая принадлежит отрезку АС. Дано, что отрезок DE параллелен плоскости α и его длина равна 5 см. Нужно найти длину отрезка ВС, зная, что отношение AD к BD равно 1/3.
Шаг 1: Обозначим длину отрезка АС как х и длину отрезка АВ как у.
Шаг 2: Так как отношение AD к BD равно 1/3, значит, AD = y/4 и BD = y/3. (Мы разделили у на 3 и у на 4, потому что в данной задаче отношение AD к BD равно 1/3.)
Шаг 3: Посмотрим на треугольник ADE. Мы знаем, что DE параллелен плоскости α, поэтому у этого треугольника у нас есть две параллельные стороны: DE и AC. Они образуют пропорциональные отрезки.
Шаг 4: Коэффициент пропорциональности равен 5/х, где х – длина отрезка AC. Теперь мы можем записать пропорцию: DE/AC = y/4х.
Шаг 5: Заметим, что DE = 5 см, значит, можно заменить DE на 5:
5/AC = y/4х.
Шаг 6: Решим пропорцию относительно х: 5/AC = y/4х.
Перемножим числитель и знаменатель на 4х:
(5*4х)/AC = y.
Шаг 7: Получили выражение для у:
у/3 = (5*4х)/AC.
Шаг 8: Теперь можно решить пропорцию относительно АС: у/3 = (5*4х)/AC.
Умножим числитель и знаменатель на 3:
3у/3 = (5*4х*3)/(AC*3).
у = 20х/AC.
Шаг 9: У нас есть два выражения для у: у = y/3 и y = 20х/AC. Приравняем их друг к другу:
y/3 = 20х/AC.
Шаг 10: Теперь нам нужно решить это уравнение относительно х. Умножим обе части на у и AC:
y^2 = 60х.
Шаг 11: Так как у нас есть еще одно уравнение для у, у = 20х/AC, мы можем подставить его вместо у в предыдущем уравнении:
(20х/AC)^2 = 60х.
Шаг 12: Возведем это в квадрат:
400х^2/AC^2 = 60х.
Шаг 13: Умножим обе части уравнения на AC^2:
400х^2 = 60х*AC^2.
Шаг 14: Деля обе части на 60х:
400х/60х = AC^2.
Шаг 15: Упростим:
10/3 = AC^2.
Шаг 16: Возведем в квадрат:
AC = √(10/3).
Теперь у нас есть значение длины отрезка AC.
Шаг 17: Наконец, можно найти длину отрезка ВС.
Из условия задачи, AD/BD = 1/3. Подставим найденные значения AD и BD:
у/3 = (5*4х)/AC.
Шаг 18: Подставим значение у = 20х/AC:
(20х/AC)/3 = (5*4х)/AC.
Шаг 19: Упростим:
20х/3AC = 20х.
Шаг 20: Для этих значений должно выполняться равенство:
20х/3AC = 20х.
Шаг 21: Поделим обе части на 20х:
1/3AC = 1.
Шаг 22: Умножим обе части на 3AC:
AC = 3.
Теперь у нас есть значение длины отрезка AC.
Шаг 23: Найдем длину отрезка ВС:
AC = √(10/3),
BC = BD - DC,
DC = DE = 5,
BC = y/3 - 5,
AC = 3,
найдем значение для y = 20х/AC из шага 8:
BC = (20*х/3)/3 - 5,
BC = 20х/9 - 5.
Поэтому длина отрезка ВС равна 20х/9 - 5.