Из точки А проведена касательная АК (К-точка касания) к окружности с центром О. Окружность пересекает отрезок АО в точке В. Известно, что BA=2 и КА=4. Найдите радиус окружности.
Для решения данной задачи мы будем использовать основное свойство касательной к окружности - оно состоит в том, что касательная к окружности, проведенная к ее радиусу, является перпендикуляром к радиусу в точке касания.
Давайте обратимся к изображению и обозначим несколько величин: пусть радиус окружности будет r, длина отрезка ВА - х, а расстояние от точки В до точки К - у.
Так как отрезок ВА пересекает окружность в точке В, то ВО - это радиус окружности - r. Следовательно, ВО = r.
Также, мы знаем, что ВК - это касательная, а АК - это отрезок ВК минус отрезок ВА. То есть, АК = ВК - ВА.
У нас есть два отрезка, которые мы можем выразить через переменные r, х и у:
ВА = х и АК = у.
Следовательно, y = ВК - х, откуда ВК = y + х.
По основному свойству касательной мы также знаем, что отрезки ВО и ВК перпендикулярны друг другу.
Используя теорему Пифагора для треугольника ВОК, можем записать следующее соотношение:
(ВО)^2 + (ВК)^2 = (ОК)^2.
Подставим значения ВО и ВК:
r^2 + (y + x)^2 = (r + u)^2.
Сократим r^2 с обоих сторон:
y^2 + 2xy + x^2 = u^2 + 2ru.
Теперь мы можем выразить расстояние у через известные величины:
y = √(u^2 + 2ru - x^2).
Заметим, что треугольники ВОА и ОКА подобны, так как у них углы при В и О равны.
Следовательно, отношение сторон обоих треугольников равно:
ВО/ОК = ВА/АК.
Подставим значения сторон:
r/ОК = х/у.
Теперь выразим ОК через известные величины:
ОК = (r * у) / х.
Теперь мы получили два уравнения для р и ОК:
1) y = √(u^2 + 2ru - x^2).
2) ОК = (r * у) / х.
Так как ВА = х = 2 и КА = у = 4, заменим эти значения в уравнении для ОК:
ОК = (r * 4) / 2.
ОК = 2r.
Подставим это значение в первое уравнение и решим уравнение относительно r:
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
D = (-2)^2 - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8.
Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует реального значения для радиуса окружности в данной задаче.
Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что радиус окружности не может быть найден на основе предоставленных данных.
AB² + BO² = AO²
AB² + 36 = 100
AB² = 100 - 36 = 64
AB = √64 = 8
Давайте обратимся к изображению и обозначим несколько величин: пусть радиус окружности будет r, длина отрезка ВА - х, а расстояние от точки В до точки К - у.
Так как отрезок ВА пересекает окружность в точке В, то ВО - это радиус окружности - r. Следовательно, ВО = r.
Также, мы знаем, что ВК - это касательная, а АК - это отрезок ВК минус отрезок ВА. То есть, АК = ВК - ВА.
У нас есть два отрезка, которые мы можем выразить через переменные r, х и у:
ВА = х и АК = у.
Следовательно, y = ВК - х, откуда ВК = y + х.
По основному свойству касательной мы также знаем, что отрезки ВО и ВК перпендикулярны друг другу.
Используя теорему Пифагора для треугольника ВОК, можем записать следующее соотношение:
(ВО)^2 + (ВК)^2 = (ОК)^2.
Подставим значения ВО и ВК:
r^2 + (y + x)^2 = (r + u)^2.
Раскроем скобки и упростим выражение:
r^2 + y^2 + 2xy + x^2 = r^2 + u^2 + 2ru.
Сократим r^2 с обоих сторон:
y^2 + 2xy + x^2 = u^2 + 2ru.
Теперь мы можем выразить расстояние у через известные величины:
y = √(u^2 + 2ru - x^2).
Заметим, что треугольники ВОА и ОКА подобны, так как у них углы при В и О равны.
Следовательно, отношение сторон обоих треугольников равно:
ВО/ОК = ВА/АК.
Подставим значения сторон:
r/ОК = х/у.
Теперь выразим ОК через известные величины:
ОК = (r * у) / х.
Теперь мы получили два уравнения для р и ОК:
1) y = √(u^2 + 2ru - x^2).
2) ОК = (r * у) / х.
Так как ВА = х = 2 и КА = у = 4, заменим эти значения в уравнении для ОК:
ОК = (r * 4) / 2.
ОК = 2r.
Подставим это значение в первое уравнение и решим уравнение относительно r:
√((4^2 + 2r * 4 - 2^2) = 2r.
√(16 + 8r - 4) = 2r.
√(12 + 8r) = 2r.
12 + 8r = 4r^2.
4r^2 - 8r + 12 = 0.
Сократим это уравнение на 4:
r^2 - 2r + 3 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
D = (-2)^2 - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8.
Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует реального значения для радиуса окружности в данной задаче.
Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что радиус окружности не может быть найден на основе предоставленных данных.