Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13см и 15см. найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4см.

Пусть дано:
точка В
накл ВА=13 см
накл ВС = 15 см
ВН _|_AC
HC - AH = 4 см

ВН-?

Решение:
Пусть АН = х см, тогда НС = (Х+4) см. 
Рассмотрим тр АВН (уг Н = 90) и тр СВН (уг Н = 90). В них выразим общую сторону ВН по т Пифагора, применяя её к каждому из двух треугольников, получим:
169 - х² = 225 - (х+4)²
169 - х² = 225 - х²-8х-16
8х=225-16-169
8х=40
х=5 (см) отрезок АН
Из тр АВН по т Пифагора получаем:  ВН² = 169 - 25 = 144 , => BH  = 12 см
ответ: искомое расстояние равно 12 см

Давай обозначим меньшую проекцию (наклонной, которая 13) на базовую прямую незатейливой буквой х. Тогда вторая проекция (наклонной длины 15) будет по условию х+4. Искомое расстояние от точки  до прямой обозначим букой Н. Тогда по теореме Пифагора образуется два уравнения:

13 ^2 = x^2 + H^2
15^2 = (x+4)^2 + H^2

Имеем два уравнения с двумя неизвестными. Можно решить. Ну так решим же эту систему методами алгебры.

Проще всего сначала будет исключить Н, тогда получим одно уравнение:
15^2 - (x+4)^2 = 13^2 - x^2
225 - x^2 - 8*x - 16 = 169 - x^2
 40 = 8*x
x = 5

То есть первая проекция у нас выходит 5 см, вторая, соответственно, 5+4 = 9 см.

Осталось последнее телодвижение - по теореме Пифагора же находим Н = корень ( 13*13 - 5*5) = корень(144) = 12 см -- это ответ.

Ну, у меня так получилось. Лучше проверь, а то с калькулятором не дружу.