Из точки M к плоскости проведены две наклонные , проекции которых равны 8 см и 5 см. Найдите длину наклонных, если одна из них на 1 см длиннее другой надо

Правильная четырёхугольная пирамида MABCD

AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей

OK⊥CM;  OK = 2 см

ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см

ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см

KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4  ⇒  KC = 2 см  ⇒

ΔOKC - прямоугольный равнобедренный

ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒

ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒

OM = OC = 2√2 см:  MK = KC = 2 см   ⇒  MC = 2*2 = 4 см

Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см  ⇒

ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD  ⇒

Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°

В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒ 

DK⊥MC.   Аналогично BK⊥MC   ⇒

Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD

DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см

ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см

Теорема косинусов

BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD

(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD

32 = 24 - 24*cos∠BKD

24cos∠BKD = -8

cos∠BKD = -1/3

∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5° 

ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см

sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= \sqrt{ \frac{2}{3} }32

∠MFO = arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°

MF⊥AD  и  OF⊥AD  ⇒

∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания

ответ: угол при вершине 60°;

угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;

угол между боковой гранью и гранью основания равен

arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°

конус

l (ВМ) = 6 см (образующая)

∠ВМО = 30°

S осн - ?

Осевое сечение конуса (секущая проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота Н (МО) разделяет этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

sin(1/2 * 30˚) = R/l

sin(15˚) = R/6

sin(45˚ - 30˚) = R/6

sin(45˚) cos(30˚) - cos(45˚) sin(30˚) = R/6

(√2/3) * (√3/2) - (√2/2) * 1/2 = R/6

(√6/4) - (√2/4) = R/6

((√6) - (√2)) * 6 = 4R

(6√6) - (6√2) = 4R

4R= 6√6 - 6√2

R = (3√6) - (3√2)/2

Итак, ВО (R) = (3√6) - (3√2)/2

S осн = пR²

S осн = п((3√6) - (3√2)/2)² = 18 - 9√3п см²