Из точки, находящейся от плоскости на расстоянии «в», проведены две наклонные под углом к плоскости, причём их проекции составляют между собой угол . Найти расстояние между основаниями наклонных.

1. <CBM=<AMB как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей ВМ. Но <CBM=<ABM, т.к. ВМ - биссектриса, значит <AMB=<ABM, и треугольник АВМ равнобедренный (углы при его основании ВМ равны между собой). 
АВ=АМ.
<CKD=<ADK как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей KD. Но <ADK=<CDK, т.к. DK - биссектриса, значит <CKD=<CDK. Треугольник CKD получается равнобедренным с равными углами при его основании DK. 
CD=CK
Т.к. ABCD - параллелограмм, то АВ=CD. Но мы выше вывели, что АВ=АМ, а CD=CК, значит
АМ=СК
Треугольники АМВ и CKD получаются равны по двум сторонам и углу между ними: АВ=CD, АМ=СК, углы А и С равны как противоположные углы параллелограмма.

2. ВК=ВС-СК, DM=AD-АМ. Поскольку ВС=AD, а СК=АМ (как равные соответственные стороны равных треугольников АМВ и CKD), то ВК=DM. Эти отрезки лежат на параллельных сторонах ВС и AD, значит, они также параллельны. Значит, BKDM - параллелограмм (две стороны равны и параллельны), следовательно, ВМ II DK.  

Геометрическим местом точек Р на плоскости, для которых наклонные АР, опущенные на плоскость из точки А, образуют одинаковые углы, является окружность с центром в точке Н основания перпендикуляра АН, опущенного из этой точки на плоскость. В этом случае для любой точки Р тангенс угла наклона АР к плоскости есть величина постоянная и равна отношению АН/НР, где АН - высота точки А над плоскостью, а НР - радиус окружности с центром в точке Н.  То же самое можно сказать и о геометрическом месте таких точек Р для точки В. Точка Р должна одновременно принадлежать и окружности с центром Н, и окружности с центром К, где К - основание перпендикуляра ВК.
Следовательно, геометрическим местом точек P плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, являются точки пересечения двух окружностей с центрами в точках Н и К, для радиусов которых выполняется условие: r/R = BK/AH. Только в этом случае углы наклона прямых ВК и АН к плоскости α будут равны, так как прямоугольные треугольники ВКР и АНР тогда будут подобны по двум катетам.
Чтобы найти искомое геометрическое место, надо решить систему из двух уравнений окружностей:
(X-Xb)²+(Y-Yb)²=r² (1) и (Х-Ха)²+(Y-Ya)²=R² (2).  Решением и будут координаты искомых точек пересечения.
Поместим начало координат в одну из точек: К или Н, например, в точку К. Тогда имеем К(0;0)
Итак, дано: точки А(Хa;Ya) и В(0;Yb), их расстояние от плоскости α H(0;Ya ) и h(0;Yb), расстояние между точками Н(Ха;0) и К(0;0), равное  сумме радиусов R(Xa-Xb) и r(Xb), то есть равное L(Xa) и, наконец, самое важное - коэффициент пропорциональности t, при котором только и будет все работать, равный отношению высот Н и h, а именно: t=Ya/Yb = R/r. Тогда R = r*t.
Напишем уравнения (1) и (2), подставив в них известные нам значения:
X²+Y²=r² (1)
(X-L)²+Y² = r²*t² (2). Решаем методом подстановки. Y²=r²-X².
Тогда (2) примет вид: X²-2LX+L²+r²-X² - r²*t² = 0, или
2LX=L²-r²*(t²-1), откуда
Х = (L²-r²*(t²-1))/2L.
Y = √{r² - [(L²-r²*(t²-1))/2L]².
ответ: геометрическое место точек P(X;Y) плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, имеет координаты
Х = (L²-r²*(t²-1))/2L.
Y = √{r² - [(L²-r²*(t²-1))/2L]².
Построим эту кривую по точкам, когда, например, t=2, L=6 и, следовательно, начальное значение r = 2, так как при r<2 окружности общих точек не имеют.
r =2, X=2, Y=0.
r =3, X=0,75, Y=±2,9.
r =4, X=-1, Y=±3,86.
r =5, X=-3,25, Y=±3,8.
r =6, X=-6, Y=0.
r =7, X=-9,25, Y - значения не имеет (иррациональное число).
Значит при r >L окружности общих точек не имеют, следовательно, наше геометрическое место точек P - замкнутая кривая при области определения L/(t+1)=<r<=L.
Рисунок приложен.