Из вершины B равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) восставлен к плоскости треугольника перпендикуляр BM. Опустить из точки M перпендикуляр на сторону AC, найти длину этого перпендикуляра и расстояние вершины B от него, если ABC равен 120° и AC=BM=4 дм.

СМ- медиана прямоугольного треугольника и равна половине его гипотенузы.

Через медиану в треугольнике образовались два равнобедренных треугольника
Δ АМС и Δ СМВ, высоты МО  и МР которых являются проекциями наклонных КО и  КР. Эти наклонные и есть расстояние от К до катетов треугольника.

Гипотенузу АВ найдем по теореме Пифагора:
АВ²=АВ²+СВ²=208

медиана МС=АМ=МВ

МО²=(АВ:2)²-АО²

МО²=(√208:2)²-4²

МО²= 208:4 -16=36
МО=6

Расстояние от К до О находим по теореме Пифагора, хотя и без вычислений ясно,что гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 равна 10.
КО=10

Проекцию МР наклонной КР найдем по теореме Пифагора:

МР²=(АВ:2)²-ВР²

МР²=(√208:2)²-6²
МР²=208:4 -36=16
МР=4

Расстояние от К до Р находим по теореме Пифагора:
КР²=КМ²+РМ²
КР²=64+16=80

КР=4√5

                                                                                   Д

                                                      В

А                                                             С                        Е

угол ВСЕ равен 114 град (внешний угол при вершине С). Треугольник ВСЕ Равнобедреннвй, так как ВС=СЕ. СД -биссектрисса угла ВСЕ, а значит медиана и высота. Имеем в четырехугольнике СВДЕ  пересечение диагоналей  под прямым углом  и пополам. Свойство ромба. В ромбе противоположные углы равны. Угол ВДЕ=ВСЕ-114град