Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 2 : 2 : 1, а площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 128 см2 . Найти диагональ параллелепипеда и объём .

32 см³

Объяснение:

Чтобы найти объем пирамиды, надо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Проведем SH - высоту пирамиды. SH = 4 см.

Тогда АН, ВН и СН - проекции наклонных SA, SB и SC на плоскость основания соответственно.

∠SAH = ∠SBH = ∠SCH = 30°, значит прямоугольные треугольники равны ΔSAH = ΔSBH = ΔSCH по катету (SH - общий катет) и противолежащему острому углу. Следовательно

НА = НВ = НС, т.е. Н - это центр окружности, описанной около основания.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Итак, Н - середина гипотенузы АВ.

ΔSBH:  ∠SHB = 90°,

ВН = SH · ctg 30° = 4√3 см

АВ = 2ВН = 2 · 4√3 = 8√3 см

ΔАВС:  ΔАСВ = 90°,  ∠ВАС = 15°

 АС = АВ · cos 15° = 8√3 · cos 15°

 BC = AB · sin 15° = 8√3 · sin15°

Площадь основания:

S = 0,5 · AC · BC

S = 0,5 · 8√3 · cos 15° · 8√3 · sin15°

Применим формулу синуса двойного угла:

S =  4 · 3 · 4 · sin 30° = 48 · 0,5 = 24 см²

Объем пирамиды:

см³

Сразу хочу обратить внимание на то, что длина меньшей дуги АВ дана не в градусах. Поэтому длину большей дуги мы должны будем искать также не в градусах.

Начинаем рассуждать.

∠АОВ = 140° - центральный, а центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Значит и меньшая дуга АВ равна 140°.

Окружность представляет собой 360°. Найдем длину большей дуги АВ, пока тоже в градусах: 360° - 140° = 220°.Помимо того, что меньшая дуга АВ равна 140°, она еще равна и 98. Значит и большая дуга тоже не только равна 220°, но и еще чему-то там. Это неизвестное число обозначим за х и составим пропорцию.

В пропорции записываем градусы под градусами, числа без единиц измерения под числами без единиц измерения и решаем.
Ответ: 154.