Дан угол FAC, вписанный в окружность, и отношения этого угла к шести другим углам, вписанным в ту же окружность. Эти семь углов дают нам 7 дуг, на которые опираются данные 7 углов: AD, BE, CF, DG, EA, FB и GC.
Так как угол FAC вдвое меньше угла ACE, то и дуга CF (на которую опирается угол FAC) вдвое меньше дуги EA (на которую опирается угол ACE). Обозначив CF за х, получим равенство для дуги EA:
2х=EA.
Аналогичным образом получаем выражения для других дуг
3х=GC
4х=BE
5х=DG
6х=FB
7х=AD
Итак, мы имеем 7 дуг (AD, BE, CF, DG, EA, FB и GC), и 6 из них мы выразили через дугу CF, которую обозначили х.
Пройдя по дугам в таком порядке: AD, DG, GC, CF, FB, BE, EA, мы опишем окружность трижды. Сумма градусных мер дуг окружности, образующих полную окружность, равна 360° . Так как мы описали окружность трижды, то сумма наших семи дуг равна 3*360° =1080°.
Поскольку в самом начале мы выразили 6 дуг через одну, составляем уравнение: х+2х+3х+4х+5х+6х+7х = 1080°
28х = 1080
х = 1080:28 = 38,57°
Итак, градусная мера дуги CF равна 38,57°
Угол EBD, который нужно найти, опирается на дугу DE.
Дуги DE, EA и AD образуют полную окружность и дают в сумме 360° .
Так как EA = 2х и AD = 7х, в сумме они дадут 9х, то есть 9 градусных мер дуги CF. 9*38,57° = 347,14°
Находим дугу DE: 360° - 347,14° = 12,86°.
Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, значит градусная мера угла EBD равна половине градусной меры дуги DE:
В этом тригонометрическом нагромождении мы видим 10 прямоугольных треугольников. Для нахождения гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника, необходимо, идя снизу, применять формулу соотношения катета и гипотенузы (гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла - или: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла), а также в паре случаев теорему Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы).
Значения косинусов берём из таблицы Брадиса.
1) Находим гипотенузу нижнего (зелёного) треугольника. Нужно длину катета (8 см) разделить на cos 28° (0,8829). Она равна ≈ 9,06 (округляем до двух цифр после запятой, так как вверху два значения даны с двумя цифрами после запятой)
2) 9,06 + 3,6 - 2,5 = 10,16 см - это длина гипотенузы второго снизу (бледно-жёлтого) треугольника. Нам нужно найти верхний его катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
10,16* cos 11° = 10,16* 0,9816 ≈ 9,97 см
3) 9,97 + 2,9 - 2 = 10,87 см - это длина гипотенузы третьего снизу треугольника. По теореме Пифагора находим верхний катет.
10,87^2 - 3,8^2 = 118,1569 - 14,44 = 103,7169
√103,7169 ≈ 10,18 см
4) 10,18 + 3,2 - 1 = 12,38 см это длина гипотенузы четвёртого снизу (голубого) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 12,38*cos 43° = 12,38*0,7314 ≈ 9,05 см
6) 10,45 + 3,2 + 1,9 = 15,55 см - это длина гипотенузы шестого снизу (светло-зелёного) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,55*cos 19° = 15,55*0,9455 ≈ 14,70 см
7) 14,70 - 4,4 - 1,1 = 8,8 см - это длина нижнего катета седьмого снизу (жёлтого) треугольника. Находим гипотенузу жёлтого треугольника.
Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 8,8:cos 46° = 8,8:0,6947 ≈ 12,67 см
8) 12,67 + 1,7 = 14,37 см - это длина бо́льшего катета восьмого снизу/третьего сверху (светло-фиолетового) треугольника. По теореме Пифагора находим гипотенузу этого треугольника.
3,2^2 + 14,37^2 = 10,24 + 206,44969 = 216,7369
√216,7369 ≈ 14,72 см
9) 14,72 - 2,73 = 11,99 см - это длина гипотенузы второго сверху (светлого) треугольника. Находим его бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
11,99*cos 22° = 11,99*0,9272 ≈ 11,12 см
10) 11,12 см +6,9 - 2,24 = 15,78 см - это длина бо́льшего катета самого верхнего (фиолетового) треугольника.
Находим гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника. Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,78:cos 4° = 15,78:0,9976 ≈ 15,82 см
∠ EBD = 6,4°.
Объяснение:
Дан угол FAC, вписанный в окружность, и отношения этого угла к шести другим углам, вписанным в ту же окружность. Эти семь углов дают нам 7 дуг, на которые опираются данные 7 углов: AD, BE, CF, DG, EA, FB и GC.
Так как угол FAC вдвое меньше угла ACE, то и дуга CF (на которую опирается угол FAC) вдвое меньше дуги EA (на которую опирается угол ACE). Обозначив CF за х, получим равенство для дуги EA:
2х=EA.
Аналогичным образом получаем выражения для других дуг
3х=GC
4х=BE
5х=DG
6х=FB
7х=AD
Итак, мы имеем 7 дуг (AD, BE, CF, DG, EA, FB и GC), и 6 из них мы выразили через дугу CF, которую обозначили х.
Пройдя по дугам в таком порядке: AD, DG, GC, CF, FB, BE, EA, мы опишем окружность трижды. Сумма градусных мер дуг окружности, образующих полную окружность, равна 360° . Так как мы описали окружность трижды, то сумма наших семи дуг равна 3*360° =1080°.
Поскольку в самом начале мы выразили 6 дуг через одну, составляем уравнение: х+2х+3х+4х+5х+6х+7х = 1080°
28х = 1080
х = 1080:28 = 38,57°
Итак, градусная мера дуги CF равна 38,57°
Угол EBD, который нужно найти, опирается на дугу DE.
Дуги DE, EA и AD образуют полную окружность и дают в сумме 360° .
Так как EA = 2х и AD = 7х, в сумме они дадут 9х, то есть 9 градусных мер дуги CF. 9*38,57° = 347,14°
Находим дугу DE: 360° - 347,14° = 12,86°.
Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, значит градусная мера угла EBD равна половине градусной меры дуги DE:
12,86°:2 = 6,43°.
15,82 см
Объяснение:
В этом тригонометрическом нагромождении мы видим 10 прямоугольных треугольников. Для нахождения гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника, необходимо, идя снизу, применять формулу соотношения катета и гипотенузы (гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету угла - или: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла), а также в паре случаев теорему Пифагора (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы).
Значения косинусов берём из таблицы Брадиса.
1) Находим гипотенузу нижнего (зелёного) треугольника. Нужно длину катета (8 см) разделить на cos 28° (0,8829). Она равна ≈ 9,06 (округляем до двух цифр после запятой, так как вверху два значения даны с двумя цифрами после запятой)
2) 9,06 + 3,6 - 2,5 = 10,16 см - это длина гипотенузы второго снизу (бледно-жёлтого) треугольника. Нам нужно найти верхний его катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
10,16* cos 11° = 10,16* 0,9816 ≈ 9,97 см
3) 9,97 + 2,9 - 2 = 10,87 см - это длина гипотенузы третьего снизу треугольника. По теореме Пифагора находим верхний катет.
10,87^2 - 3,8^2 = 118,1569 - 14,44 = 103,7169
√103,7169 ≈ 10,18 см
4) 10,18 + 3,2 - 1 = 12,38 см это длина гипотенузы четвёртого снизу (голубого) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 12,38*cos 43° = 12,38*0,7314 ≈ 9,05 см
5) Больший катет пятого снизу (розового) треугольника равен бо́льшему катету голубого треугольника. (9,05 +1-1 = 9,05 см). Находим гипотенузу розового треугольника. 9,05:cos 30° = 9,05:0,8660 ≈ 10,45 см.
6) 10,45 + 3,2 + 1,9 = 15,55 см - это длина гипотенузы шестого снизу (светло-зелёного) треугольника. Находим нужный нам бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,55*cos 19° = 15,55*0,9455 ≈ 14,70 см
7) 14,70 - 4,4 - 1,1 = 8,8 см - это длина нижнего катета седьмого снизу (жёлтого) треугольника. Находим гипотенузу жёлтого треугольника.
Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 8,8:cos 46° = 8,8:0,6947 ≈ 12,67 см
8) 12,67 + 1,7 = 14,37 см - это длина бо́льшего катета восьмого снизу/третьего сверху (светло-фиолетового) треугольника. По теореме Пифагора находим гипотенузу этого треугольника.
3,2^2 + 14,37^2 = 10,24 + 206,44969 = 216,7369
√216,7369 ≈ 14,72 см
9) 14,72 - 2,73 = 11,99 см - это длина гипотенузы второго сверху (светлого) треугольника. Находим его бо́льший катет. Он равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла.
11,99*cos 22° = 11,99*0,9272 ≈ 11,12 см
10) 11,12 см +6,9 - 2,24 = 15,78 см - это длина бо́льшего катета самого верхнего (фиолетового) треугольника.
Находим гипотенузы верхнего фиолетового прямоугольного треугольника. Она равна катету, делённому на косинус прилежащего к этому катету угла. 15,78:cos 4° = 15,78:0,9976 ≈ 15,82 см