Для решения данной задачи будем использовать формулы расстояний между точками и формулу для проверки прямоугольности треугольника.
а) Для вычисления длины медианы СД (медиана - это отрезок, соединяющий середину стороны треугольника с противолежащей вершиной) необходимо найти точку D - середину стороны AB, а затем вычислить длину отрезка СД.
Шаг 1: Найдем координаты точки D, которая является серединой стороны AB. Для этого вычислим среднее арифметическое от координат точек А и В в каждой из трех осей:
xD = (xA + xB) / 2 = (0 + 4) / 2 = 2
yD = (yA + yB) / 2 = (3 + (-1)) / 2 = 1
zD = (zA + zB) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
Таким образом, координаты точки D равны D(2; 1; 3).
Шаг 2: Теперь необходимо вычислить длину отрезка СД. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
где d - длина отрезка, x1, y1, z1 - координаты точки S, x2, y2, z2 - координаты точки D.
Вычислим:
d = √((2 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (3 - 2)^2)
d = √(1 + 0 + 1)
d = √2
Таким образом, длина медианы СД равна √2.
б) Для проверки прямоугольности треугольника АВС воспользуемся теоремой Пифагора. Если длины квадратов двух сторон треугольника равны квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
а) Для вычисления длины медианы СД (медиана - это отрезок, соединяющий середину стороны треугольника с противолежащей вершиной) необходимо найти точку D - середину стороны AB, а затем вычислить длину отрезка СД.
Шаг 1: Найдем координаты точки D, которая является серединой стороны AB. Для этого вычислим среднее арифметическое от координат точек А и В в каждой из трех осей:
xD = (xA + xB) / 2 = (0 + 4) / 2 = 2
yD = (yA + yB) / 2 = (3 + (-1)) / 2 = 1
zD = (zA + zB) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
Таким образом, координаты точки D равны D(2; 1; 3).
Шаг 2: Теперь необходимо вычислить длину отрезка СД. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
где d - длина отрезка, x1, y1, z1 - координаты точки S, x2, y2, z2 - координаты точки D.
Вычислим:
d = √((2 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (3 - 2)^2)
d = √(1 + 0 + 1)
d = √2
Таким образом, длина медианы СД равна √2.
б) Для проверки прямоугольности треугольника АВС воспользуемся теоремой Пифагора. Если длины квадратов двух сторон треугольника равны квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Для удобства, переименуем вершины треугольника АВС: А(0;3;4) - А(х1;y1;z1), В(4;-1;2) - В(х2;y2;z2), С(1 ;1;2) - С(х3;y3;z3).
Выполним несколько шагов:
Шаг 1: Вычислим длины всех сторон треугольника АВС.
Сторона АВ:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
AB = √((4 - 0)^2 + (-1 - 3)^2 + (2 - 4)^2)
AB = √(16 + 16 + 4)
AB = √36
AB = 6
Сторона АС:
AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)
AC = √((1 - 0)^2 + (1 - 3)^2 + (2 - 4)^2)
AC = √(1 + 4 + 4)
AC = √9
AC = 3
Сторона ВС:
BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2)
BC = √((1 - 4)^2 + (1 - (-1))^2 + (2 - 2)^2)
BC = √(9 + 4 + 0)
BC = √13
Шаг 2: Проверим выполнение теоремы Пифагора. Выполним сравнение квадрата каждой стороны треугольника с суммой квадратов двух других сторон.
AB^2 = AC^2 + BC^2
6^2 = 3^2 + (√13)^2
36 = 9 + 13
36 = 22
Таким образом, длины сторон треугольника не удовлетворяют теореме Пифагора, следовательно, треугольник АВС не является прямоугольным.