К двум окружностям, касающимся внешним образом в точке C, проведена общая внешняя касательная, A и B — точки касания. Найдите радиусы окружностей, если AC =6, BC=8.
Построим два круга радиусом 7см с центром О1, и радиусом 2см с центром О2.Соединим их отрезком О1О2=13см и проведём общую касательную к этим кругам. Касательная пройдёт между кругами пересекая О1О2 в точке С. И будет иметь точки касания А в первом круге( R=7), и точку В втором. Треугольники АО1С и ВО2С подобны как прямоугольные с равным острым углом( уголО1СА=углу ВСО2). Углы А и В прямые поскольку радиусы О1А и О2В перпендикулярны касательной АВ. Отсюда О1А/О1С=О2В/О2С. Или 7/Х=2/13-Х. Отсюда О1С=х=10,11. О2С=13-Х=2,89. По теореме Пифагора АС=корень из(О1Сквадрат-О1Аквадрат)=корень из(11,11квадрат-7квадрат)=7,29. ВС=корень из(О2Сквадрат-О2Вквадрат)=корень из(2,89квадрат-2 квадрат)=2,09. Отсюда длина общей касательной АВ=АС+ВС=7,29+2,09=9,38.
Основания трапеции параллельны.
Её диагонали - секущие.
Накрестлежащие углы при их пересечении с основаниями равны. Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, подобны по 3-м углам.
Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований трапеции.
k=4/8=1/2
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции на части, являющиеся высотами треугольников.
Обозначим высоту меньшего треугольника h, высоту большего - Н.
Тогда h/H=1/2.
Высота трапеции содержит 1+2 =3 части.
Каждая часть=9:3=3 см
Поэтому h=3 см
Н=2•3=6 см.
Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции равны 3 см и 6 см.
*****************
Задача 2.
Наложим данные треугольники друг на друга так, чтобы стороны их равных углов совпали. Пусть общая вершина будет В, а сами треугольники – АВС и КВМ.
Так как оба треугольника равнобедренные и имеют равные углы при вершине, их углы при основаниях КМ и АС тоже равны ( свойство).
∆ КВМ~∆ АВС. k= ВС/ ВМ=15:5=3
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его пополам.
КО=ОМ, и АН=НС.
КО=3 ( ∆ КВО - египетский, проверьте по т.Пифагора.)
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
АН:КО=3.
АН=3•3=9
АС=9•2=18 см
Р ∆ АВС=2•ВС+АС=30+18=48 см
Построим два круга радиусом 7см с центром О1, и радиусом 2см с центром О2.Соединим их отрезком О1О2=13см и проведём общую касательную к этим кругам. Касательная пройдёт между кругами пересекая О1О2 в точке С. И будет иметь точки касания А в первом круге( R=7), и точку В втором. Треугольники АО1С и ВО2С подобны как прямоугольные с равным острым углом( уголО1СА=углу ВСО2). Углы А и В прямые поскольку радиусы О1А и О2В перпендикулярны касательной АВ. Отсюда О1А/О1С=О2В/О2С. Или 7/Х=2/13-Х. Отсюда О1С=х=10,11. О2С=13-Х=2,89. По теореме Пифагора АС=корень из(О1Сквадрат-О1Аквадрат)=корень из(11,11квадрат-7квадрат)=7,29. ВС=корень из(О2Сквадрат-О2Вквадрат)=корень из(2,89квадрат-2 квадрат)=2,09. Отсюда длина общей касательной АВ=АС+ВС=7,29+2,09=9,38.