Половина высоты относится к радиусу вписанной окружности основания как tg(a) tg(a) = h/2/r r = h/(2tg(a)) В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору x² = (x/2)² + (3r)² 3/4*x² = 9r² x² = 12r² x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a) Площадь основания S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))² И объём V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))² на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.
tg(a) = h/2/r
r = h/(2tg(a))
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r
Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору
x² = (x/2)² + (3r)²
3/4*x² = 9r²
x² = 12r²
x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a)
Площадь основания
S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))²
И объём
V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))²
на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.
1) AD не параллельна BC, они пересекаются в точке E.
M - точка пересечения биссектрис внешних углов △AEB =>
M лежит на биссектрисе ∠E.
N - точка пересечения биссектрис △CDE =>
N лежит на биссектрисе ∠E.
Если MN перпендикулярна AB, то в △AEB совпадают биссектриса и высота.
Тогда △AEB - равнобедренный, углы при основании равны.
Углы A и B четырехугольника равны как смежные с равными.
2) AD параллельна BC, трапеция.
Биссектрисы внутренних углов при параллельных пересекаются под прямым углом.
Пусть E - середина AB.
ME - медиана из прямого угла, ME=AB/2
△BEM - равнобедренный, ∠EMB=∠EBM=∠CBM
ME||BC (по накрест лежащим) => M лежит на средней линии трапеции.
Аналогично N.
Если средняя линия перпендикулярна боковой стороне, то трапеция прямоугольная, ∠A=∠B=90.