1. Сначала я докажу, что АС НЕ МОЖЕТ БЫТЬ биссектрисой угла BAD (то есть угла А) и <ACD НЕ МОЖЕТ БЫТЬ равным 135° в равнобедренной трапеции АВСD при условии, что ВС=10см, а AD=20см. Для этого продолжим боковые стороны АВ и DC до их пересечения в точке Е. Треугольник АЕD равнобедренный и в нем отрезок ВС является средней линией, так как он параллелен основанию AD и равен его половине. Следовательно, точки В и С делят боковые стороны треугольника пополам. Углы при основании равны 30°, значит угол при вершине равен 120° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Отметим, что cos120°=cos(180-60)=-cos60° и по теореме косинусов найдем боковую сторону нашего треугольника. Пусть она равна Х, тогда AD²=X²+X²-2*X*X*Cos120° или 400=2X²+2X²(1/2). Или 400=3*X² или 20=X√3. Отсюда Х=20/√3=20√3/3 см. Это боковая сторона. Тогда половина этой стороны АЕ, то есть АВ=10√3/3 ≈5,8 см и треугольник АВС НЕ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, а значит АС - НЕ БИССЕКТРИСА угла ВАD и <ACD НЕ РАВЕН 135°, что и требовалось доказать. 2. Найдем периметр трапеции, не опираясь на не верное условие задачи. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла на основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности двух оснований. Пусть ВН - высота, тогда АН=(20-10)/2=5см. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла 30° (дано). Значит АВ²=АВ²/4 + АН² или 3АВ²=100. Отсюда АВ=10/√3=10√3/3. Мы видим, что этот ответ совпадает с полученным результатом в п1. Таким образом, периметр трапеции равен Р=20+10+2*(10√3/3)=30+20√3/3 см. Р=30+20√3/3.
Теперь посмотрим, что же хотел получить в ответе составитель этой задачи. Если <ACD=135°(не может быть - доказано выше), а <ADC=30° то <АСВ=180°-135°-30°=15°, то есть <ACB равен половине угла ВАD и, значит АС - биссектриса. Тогда АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС. Периметр равен 10+10+10+20=50см.
1. От точки А строим угол, равный данному (описано в первом
варианте) и на полученной второй его стороне откладываем отрезок
АВ, равный данной гипотенузе. Из точки В опускаем перпендикуляр на
прямую "а". Для этого:
Из точки В проводим окружность любого радиуса R, чтобы пересекла
прямую "а" в точках G и Q. Из точек G и Q тем же радиусом проводим
две дуги, пересекающиеся в точке M. Прямая ВМ - искомый перпендикуляр.
На пересечении прямых ВМ и "а" ставим точку С.
Соединяем точки А,В и С и получаем прямоугольный треугольник АВС
с прямым углом <C и с заданными гипотенузой и острым углом.
2. На прямой "а" откладываем отрезок, равный одной из сторон, например, АС. Проводим окружности с центрами в точках А и С радиусами, равными двум другим сторонам, например, АВ и СВ соответственно. В точке пересечения этих окружностей получаем точку В. Треугольник построен.
3. На прямой "а" откладываем отрезок, равный стороне АВ, к которой проведена высота СН. Проводим окружность радиуса ВС с центром в точке В. Из точки В к прямой "а" восстанавливаем перпендикуляр и на нем откладываем отрезок ВР, равный высоте СН. Из точки Р проводим перпендикуляр к отрезку ВР и в точке пересечения этого перпендикуляра с проведенной ранее окружностью ставим точку С.
Соединив точки А,С и В получаем искомый треугольник.
P.S. Построение перпендикуляра к прямой в заданную точку не описываю - это стандартное построение.
Для этого продолжим боковые стороны АВ и DC до их пересечения в точке Е. Треугольник АЕD равнобедренный и в нем отрезок ВС является средней линией, так как он параллелен основанию AD и равен его половине. Следовательно, точки В и С делят боковые стороны треугольника пополам.
Углы при основании равны 30°, значит угол при вершине равен 120° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Отметим, что cos120°=cos(180-60)=-cos60° и по теореме косинусов найдем боковую сторону нашего треугольника. Пусть она равна Х,
тогда AD²=X²+X²-2*X*X*Cos120° или 400=2X²+2X²(1/2). Или
400=3*X² или 20=X√3.
Отсюда Х=20/√3=20√3/3 см. Это боковая сторона. Тогда половина этой стороны АЕ, то есть АВ=10√3/3 ≈5,8 см и треугольник АВС НЕ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, а значит
АС - НЕ БИССЕКТРИСА угла ВАD и <ACD НЕ РАВЕН 135°, что и требовалось доказать.
2. Найдем периметр трапеции, не опираясь на не верное условие задачи. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла на основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности двух оснований. Пусть ВН - высота, тогда
АН=(20-10)/2=5см. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла 30° (дано). Значит АВ²=АВ²/4 + АН² или 3АВ²=100.
Отсюда АВ=10/√3=10√3/3. Мы видим, что этот ответ совпадает с полученным результатом в п1.
Таким образом, периметр трапеции равен
Р=20+10+2*(10√3/3)=30+20√3/3 см.
Р=30+20√3/3.
Теперь посмотрим, что же хотел получить в ответе составитель этой задачи.
Если <ACD=135°(не может быть - доказано выше), а <ADC=30° то
<АСВ=180°-135°-30°=15°, то есть
<ACB равен половине угла ВАD и, значит АС - биссектриса.
Тогда АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС.
Периметр равен 10+10+10+20=50см.
1. От точки А строим угол, равный данному (описано в первом
варианте) и на полученной второй его стороне откладываем отрезок
АВ, равный данной гипотенузе. Из точки В опускаем перпендикуляр на
прямую "а". Для этого:
Из точки В проводим окружность любого радиуса R, чтобы пересекла
прямую "а" в точках G и Q. Из точек G и Q тем же радиусом проводим
две дуги, пересекающиеся в точке M. Прямая ВМ - искомый перпендикуляр.
На пересечении прямых ВМ и "а" ставим точку С.
Соединяем точки А,В и С и получаем прямоугольный треугольник АВС
с прямым углом <C и с заданными гипотенузой и острым углом.
2. На прямой "а" откладываем отрезок, равный одной из сторон, например, АС. Проводим окружности с центрами в точках А и С радиусами, равными двум другим сторонам, например, АВ и СВ соответственно. В точке пересечения этих окружностей получаем точку В. Треугольник построен.
3. На прямой "а" откладываем отрезок, равный стороне АВ, к которой проведена высота СН. Проводим окружность радиуса ВС с центром в точке В. Из точки В к прямой "а" восстанавливаем перпендикуляр и на нем откладываем отрезок ВР, равный высоте СН. Из точки Р проводим перпендикуляр к отрезку ВР и в точке пересечения этого перпендикуляра с проведенной ранее окружностью ставим точку С.
Соединив точки А,С и В получаем искомый треугольник.
P.S. Построение перпендикуляра к прямой в заданную точку не описываю - это стандартное построение.