Какое условие необходимо добавить, чтобы задача на построение треугольника ABC по стороне и двум прилежащим к ней углам имела решение, если известно что AB=a, угол A 67 градусов​

PΔ=36, треугольник правильный, значит сторона треугольника равна :
36:3=12.
Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°.
Вычислим диаметр окружности:
d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3.
Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а.
По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)².
                                       2a²=64·3,
                                       a²=32·3=16·2·3,
                                       a=√16·6=4√6.
a=4√6. 

Рассмотрим сечение призмы, перпендикулярное всем трём боковым рёбрам. Это треугольник.
обозначим стороны этого треугольника a, b, c.
каждая боковая грань призмы - параллелограмм, для оторого известна одна из сторон - боковое ребро призмы, 5 см.
площадь двух граней дана.
S_1 = a*5 = 20
a = 4 см
S_2 = b*5 = 20
b = 4 см
Теперь известны две стороны сечения по 4 см и угол между ними в 60 градусов.
треугольник сечения равнобедренный с углом при вершине 60°
Угол при основании
(180 - 60)/2 = 120/2 = 60°
Т.е. треугольник равносторонний
c = 4 см
площадь третьей грани
S_3 = 4*5 = 20 см^2
Полная боковая поверхность
3*20 = 60 см^2