Отрезки МК и NP параллельны соседним сторонам прямоугольника, => соответственно равны им, пересекаются под прямым углом и делят АВСD на 4 прямоугольника, (неважно, равной или разной площади). Обозначим точку пересечения МК и NP буквой О.
а)
Стороны четырехугольника МNKP являются диагоналями получившихся прямоугольников и делят каждый из них пополам (свойство). Поэтому площадь MNKP равна сумме площадей этих половин, т.е. равна половине площади ABCD.
б)
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Так как S(ABCD)=AB•CD, МК=АD и NP=AB, а sin90°=1, то S(MNKP)=MK•NP•sin90°=0,5•S(ABCD).
РА - перпендикуляр к площади параллелограмма АВСД. Укажите вид параллелограмма, если РВ перпендикулярен ВС. а) ромб, б) прямоугольник; в) квадрат.
Объяснение: РВ - наклонная. АВ - её проекция на плоскость АВСД. По т. о 3-х перпендикулярах если наклонная (РВ) перпендикулярна прямой (ВС) на плоскости, то её проекция на ту же плоскость перпендикулярна данной прямой. Следовательно, АВ⊥ВС, и угол АВС - прямой. Противоположные углы параллелограмма равны. ⇒ ∠Д=∠В=90°, поэтому из суммы углов четырехугольника ∠А+∠С=360°-2•90°=180°, и каждый из них равен 180°:2=90°.
Углы четырехугольника АВСД прямые. ⇒ АВСД - прямоугольник. Он может быть и квадратом. если его стороны будут равны.
Отрезки МК и NP параллельны соседним сторонам прямоугольника, => соответственно равны им, пересекаются под прямым углом и делят АВСD на 4 прямоугольника, (неважно, равной или разной площади). Обозначим точку пересечения МК и NP буквой О.
а)
Стороны четырехугольника МNKP являются диагоналями получившихся прямоугольников и делят каждый из них пополам (свойство). Поэтому площадь MNKP равна сумме площадей этих половин, т.е. равна половине площади ABCD.
б)
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Так как S(ABCD)=AB•CD, МК=АD и NP=AB, а sin90°=1, то S(MNKP)=MK•NP•sin90°=0,5•S(ABCD).
в)
S(MNKP)=S∆MNP+S∆NKP=0.5•MO•NP+0.5•KO•NP=0,5•NP•(MO+OK) => S(MNKP)=0,5•NP•MK =>
S(MNKP) =0,5•S(ABCD), т.к. NP=AB и МК=АD
РА - перпендикуляр к площади параллелограмма АВСД. Укажите вид параллелограмма, если РВ перпендикулярен ВС. а) ромб, б) прямоугольник; в) квадрат.
Объяснение: РВ - наклонная. АВ - её проекция на плоскость АВСД. По т. о 3-х перпендикулярах если наклонная (РВ) перпендикулярна прямой (ВС) на плоскости, то её проекция на ту же плоскость перпендикулярна данной прямой. Следовательно, АВ⊥ВС, и угол АВС - прямой. Противоположные углы параллелограмма равны. ⇒ ∠Д=∠В=90°, поэтому из суммы углов четырехугольника ∠А+∠С=360°-2•90°=180°, и каждый из них равен 180°:2=90°.
Углы четырехугольника АВСД прямые. ⇒ АВСД - прямоугольник. Он может быть и квадратом. если его стороны будут равны.