Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойства средней линии:
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон,
1) параллельна третьей стороне и
2) равна ее половине.
Доказательство:
Пусть К - середина АВ и Р - середина ВС треугольника АВС. Тогда КР - средняя линия по определению. Докажем, что КР║АС и КР = 1/2 АС.
На прямой КР за точку Р отложим отрезок РЕ = КР.
РЕ = КР по построению, ВР = РС по условию, ∠ВРК = ∠СРЕ как вертикальные, значит ΔВРК = ΔСРЕ по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует:
1) ∠1 = ∠2, а эти углы накрест лежащие при пересечении прямых АВ и СЕ секущей ВС, значит АВ║СЕ;
2) ВК = СЕ, но ВК = АК по условию, значит АК = СЕ.
Итак, в четырехугольнике АКЕС противоположные стороны АК и СЕ равны и параллельны, значит это параллелограмм.
Тогда и КЕ║АС - первое свойство доказано.
КЕ = АС как противоположные стороны параллелограмма, а КЕ = 2КР, тогда
КР = 1/2КЕ = 1/2АС - второе свойство доказано.
Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойства средней линии:
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон,
1) параллельна третьей стороне и
2) равна ее половине.
Доказательство:
Пусть К - середина АВ и Р - середина ВС треугольника АВС. Тогда КР - средняя линия по определению. Докажем, что КР║АС и КР = 1/2 АС.
На прямой КР за точку Р отложим отрезок РЕ = КР.
РЕ = КР по построению, ВР = РС по условию, ∠ВРК = ∠СРЕ как вертикальные, значит ΔВРК = ΔСРЕ по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует:
1) ∠1 = ∠2, а эти углы накрест лежащие при пересечении прямых АВ и СЕ секущей ВС, значит АВ║СЕ;
2) ВК = СЕ, но ВК = АК по условию, значит АК = СЕ.
Итак, в четырехугольнике АКЕС противоположные стороны АК и СЕ равны и параллельны, значит это параллелограмм.
Тогда и КЕ║АС - первое свойство доказано.
КЕ = АС как противоположные стороны параллелограмма, а КЕ = 2КР, тогда
КР = 1/2КЕ = 1/2АС - второе свойство доказано.