Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен 60 градусов. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от точки D. Найдите расстояние от точки С до плоскости. Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, М принадлежит плоскости. Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа. Решение. CD параллельна АВ, следовательно, параллельна плоскости альфа, в которой лежит АВ. Все точки прямой, параллельной плоскости, удалены от нее на равное расстояние. ⇒ точка С находится на том же расстоянии от плоскости, что и точка D, т.е. на расстоянии а/2. Угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа - двугранный. Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Линейным углом двугранного угла называется угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими в гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало.
Из любой точки ребра двугранного угла можно провести линейный угол, и все эти углы будут равны между собой. Так как острый угол ромба равен 60°, его диагональ ВD делит ромб на два равносторонних треугольника. DK - высота треугольника (и высота ромба), перпендикулярна АВ, ⇒ DK=(а√3)/2 Проекция отрезка DK перпендикулярна АВ, т.е. KN⊥AB по теореме о трех перпендикулярах. Синус угла угла DKN между плоскостью ромба и плоскостью альфа - это отношение между отрезком DN и высотой DK ромба. sin DKN=DN:DK Угол НВМ=углу DKN. sin DKN=a/2:(а√3)/2=1/√3 sin НВМ=1/√3
Опущенная высота СД делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника АСД и СВД. Для прямоугольного треугольника можно стороны находить по теореме Пифагора или с испольгованием углов. Так sinА равен отношению противолеж катета к гипотенузе, т.е СД/АС, а cosА равен отношению прилеж катета к гипотенузе, т.е. АД/АС Значит чтобы найти СД - высоту - надо АС*sinA, где АС можно вычислить как =АД / cosА, а АД = 1/2 * АВ = 1/2*8=4 так как cosA^2+sinA^2=1 получаем, что cosA= √1-sinA^2=√1-0.8^2=√1-0.64 =√0.36=0.6 СД=sinА * (АД/cosA)=0.8*4/0.6=16/3=5 1/3
Решение.
CD параллельна АВ, следовательно, параллельна плоскости альфа, в которой лежит АВ.
Все точки прямой, параллельной плоскости, удалены от нее на равное расстояние. ⇒ точка С находится на том же расстоянии от плоскости, что и точка D, т.е. на расстоянии а/2.
Угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа - двугранный.
Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу.
Линейным углом двугранного угла называется угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими в гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало.
Из любой точки ребра двугранного угла можно провести линейный угол, и все эти углы будут равны между собой.
Так как острый угол ромба равен 60°, его диагональ ВD делит ромб на два равносторонних треугольника. DK - высота треугольника (и высота ромба), перпендикулярна АВ, ⇒
DK=(а√3)/2
Проекция отрезка DK перпендикулярна АВ, т.е. KN⊥AB по теореме о трех перпендикулярах.
Синус угла угла DKN между плоскостью ромба и плоскостью альфа - это отношение между отрезком DN и высотой DK ромба.
sin DKN=DN:DK
Угол НВМ=углу DKN.
sin DKN=a/2:(а√3)/2=1/√3
sin НВМ=1/√3
Так sinА равен отношению противолеж катета к гипотенузе, т.е СД/АС, а
cosА равен отношению прилеж катета к гипотенузе, т.е. АД/АС
Значит чтобы найти СД - высоту - надо АС*sinA, где АС можно вычислить как =АД / cosА, а АД = 1/2 * АВ = 1/2*8=4
так как cosA^2+sinA^2=1 получаем, что cosA= √1-sinA^2=√1-0.8^2=√1-0.64 =√0.36=0.6
СД=sinА * (АД/cosA)=0.8*4/0.6=16/3=5 1/3