катеты прямоугольного треугольника равны 12см и 16см.из середины гипотенузы восстановлен к ней перпендикуляр до точки пересечения с большим катетом.найти длину этого перпендикуляра и углы треугольника.
По прежнему не идут вложения. Если нужен подробный рисунок, сообщите эл. адрес. Туда вышлю фотку.
АВС - равнобедр. тр-к. АВ = ВС = х. h = BK - высота, r - радиус вписанной окружности. ОК = r, О - точка пересечения биссектрис - центр вписанной окр-ти. Остальные обозначения и построения - как описаны в условии.
х = ?
Сначала некоторые соотношения через площадь:
S = pr, где р = (х+х+14)/2 = х+7 - полупериметр. S = (x+7)r
S = AC*h/2 = 7h
Приравняв, выразим h через r:
h = (x+7)r/7. (1)
Из тр.АОК: tgA/2 = r/7
Из тр. АВК: tgA = h/7
Из тригонометрии: tgA = 2tgA/2 / (1-tg^2(A/2)) = 14r/(49-r^2)
Значит h = 7tgA = 98r/(49-r^2) (2)
Приравняв (1) и (2), получим выражение для х через r:
х = (686/(49-r^2)) - 7 = (343+7r^2)/(49-r^2) (3)
Задача сводится к нахождению r^2.
Треугольники AMN и АВК - подобны (мы провели MN перпенд. АС)
АМ/АВ = MN/ВК = AN/АК = 7/8 (следует из условия МВ = АВ/8)
Значит: MN=7h/8 = 343r/(4(49-r^2)),
AN = 7AK/8 = 49/8, ND = AD - AN = 28 -(49/8) = 175/8
Из пр. тр-ка DOK: tgD/2 = r/KD = r/21
Из пр. тр. DMN: tgD = MN/ND = 686r/(175(49-r^2)) (4)
Через тригонометрию:
tgD = 2tgD/2 /(1-tg^2(D/2)) = 42r/(441-r^2) (5)
Приравняв (4) и (5), получим уравнение для r^2:
686r/(175(49-r^2)) = 42r/(441-r^2)
7/(25(49-r^2)) = 3/(441-r^2)
r^2 = 588/68 = 147/17 (6)
Теперь подставим (6) в (3) и найдем боковую сторону:
По прежнему не идут вложения. Если нужен подробный рисунок, сообщите эл. адрес. Туда вышлю фотку.
АВС - равнобедр. тр-к. АВ = ВС = х. h = BK - высота, r - радиус вписанной окружности. ОК = r, О - точка пересечения биссектрис - центр вписанной окр-ти. Остальные обозначения и построения - как описаны в условии.
х = ?
Сначала некоторые соотношения через площадь:
S = pr, где р = (х+х+14)/2 = х+7 - полупериметр. S = (x+7)r
S = AC*h/2 = 7h
Приравняв, выразим h через r:
h = (x+7)r/7. (1)
Из тр.АОК: tgA/2 = r/7
Из тр. АВК: tgA = h/7
Из тригонометрии: tgA = 2tgA/2 / (1-tg^2(A/2)) = 14r/(49-r^2)
Значит h = 7tgA = 98r/(49-r^2) (2)
Приравняв (1) и (2), получим выражение для х через r:
х = (686/(49-r^2)) - 7 = (343+7r^2)/(49-r^2) (3)
Задача сводится к нахождению r^2.
Треугольники AMN и АВК - подобны (мы провели MN перпенд. АС)
АМ/АВ = MN/ВК = AN/АК = 7/8 (следует из условия МВ = АВ/8)
Значит: MN=7h/8 = 343r/(4(49-r^2)),
AN = 7AK/8 = 49/8, ND = AD - AN = 28 -(49/8) = 175/8
Из пр. тр-ка DOK: tgD/2 = r/KD = r/21
Из пр. тр. DMN: tgD = MN/ND = 686r/(175(49-r^2)) (4)
Через тригонометрию:
tgD = 2tgD/2 /(1-tg^2(D/2)) = 42r/(441-r^2) (5)
Приравняв (4) и (5), получим уравнение для r^2:
686r/(175(49-r^2)) = 42r/(441-r^2)
7/(25(49-r^2)) = 3/(441-r^2)
r^2 = 588/68 = 147/17 (6)
Теперь подставим (6) в (3) и найдем боковую сторону:
ответ: 10
Проведем дополнительно высоту СК. Так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок DK = (а-х)/2, где х - искомое основание ВС.
Из тр-ка СКD: CD = DK/cosD = (a-x)/(2cosD).
С другой стороны из пр.тр-ка ACD: CD = a*cosD.
Приравняв, получим: cos^2 (D) = (a-x)/2a (1)
Но по условию:
AB^2 + x^2 = (11/16)a^2, а АВ^2 = CD^2 = a^2 *cos^2(D) = a(a-x)/2
Подставив получим уравнение:
a(a-x)/2 + x^2 = (11/16)a^2 (2)
Домножим на 16 и приведем к квадратному уравнению:
16x^2 - 8ax - 3a^2 = 0 D = 64a^2 + 192 = 64(a^2 +3)
x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32 (другой корень - отрицателен)
x = (a + кор(a^2 +3))/4