Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21 см. Тогда радиус описанной около этого треугольника будет равен С пояснениями

Центр О вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Т.к. в равнобедренном треугольнике биссектриса ВН, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр О вписанной в равнобедренный ΔАВС окружности лежит на высоте и медиане ВН, проведенных к основанию. Значит угол ВНС - прямой и АН=СН.
По условию СК/КВ=5/8, значит СК=5х, КВ=8х, ВС=СК+КВ=13х
По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности СК=СН=5х, тогда АС=2*5х=10х
Из прямоугольного ΔВНС найдем ВН=√(ВС²-СН²)=√(13х)²-(5х)²=√144х²=12х
Площадь Sавс=ВН*АС/2
540=12х*10х/2
х=√9=3
СК=5*3=15
КВ=8*3=24
АВ=ВС=13*3=39
АС=10*3=30
Полупериметр р=(2АВ+АС)/2=(2*39+30)2=54
Радиус ОК=Sавс/p=540/54=10
Из прямоугольного ΔВОК найдем ВО:
ВО=√(КВ²+ОК²)=√24²+10²=√676=26

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, а боковые грани  — равные равнобедренные треугольники.
Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД=12). Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO - это высота пирамиды.
Проведем апофему пирамиды SK - это высота боковой грани.
Двугранный угол SKО равен  30°.
Из прямоугольного ΔSKО найдем SK (KO=АВ/2=12/2=6):
SK=ОК/cos 30=6 / √3/2=12/√3=4√3
Площадь основания Sосн=АВ²=12²=144
Периметр основания Р=4АВ=4*12=48
Площадь боковой поверхности 
Sбок=P*SK/2=48*4√3/2=96√3≈166,28
Площадь полной поверхности 
Sполн=Sбок+Sосн=96√3+144≈310,28