Каждое боковое ребро тетраэдра равно 4 см и образует с плоскостью основания угол равный 30 градусам. вычислите расстояние от вершины а тетраэдра до плоскости основания и длину ребра его основания.
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
14=2y-2 -10z+75=-5z 6x+5=7x+3
2y=14+2 10z-5z=75 7x-6x=5-3
2y=16 5z=75 x=2
y=16:2 z=75:5
y=8 z=15
28=7n-7 11m-13=15-3m 30-15z=40-14z
7n=28+7 11m+3m=15+13 15z-14z=30-40
7n= 35 14m=28 z=-10
n=35:7 m=28:14
n=5 m=2
17-8y=4y-7 6n-35=n -x-1.4=0.4x
8y+4y=17+7 6n-n=35 0.4x+x=-1.4
12y=24 5n=35 1.4x=-1.4
y=2 n=7 x=-1
0.5c-1.2=0.4c+0.8 1.3-0.6c=0.2-0.5c 0.6y+4=0.2y
0.5c-0.4c=0.8+1.2 0.6c-0.5c=1.3-0.2 0.6y-0.2y=-4
0.1c=2 0.1c=1.1 0.4y=-4
c= 20 c=11 y=-10
1.6=0.4z-0.8 1.2a-8=0.4a 2-3.5a=1.5a
0.4z=1.6+0.8 1.2a-0.4a=8 3.5a+1.5a=2
0.4z= 2.4 0.8a=8 5a=2
z= 6 a=10 a=0.4
-x-1.4=0.4x 1.5=1.2-0.3z 0.6y+4=0.2y
0.4x+x=-1.4 -0.3z=1.5-1.2 0.6y-0.2y=-4
1.4x=-1.4 -0.3z=0.3 0.4y=-4
x=-1 z=-1 y=-10
7-6.4x=3.6x 2-3.5a=1.5a -2y-1.2=-0.8y
6.4x+3.6x=7 1.5a+3.5a=2 2y-0.8y=-1.2
10x=7 5a=2 1.2y=-1.2
x=0.7 a=0.4 y=-1