KE = CF,
KF = CE. Доведіть, що
ZKEF-ZCFE.​

Признаки ромба: равенство сторон и неравенство диагоналей.

Перпендикулярность диагоналей и деление их точкой пересечения пополам вытекают как следствие из равенства сторон по свойству равнобедренных треугольников.

Точка А  Точка В  Точка С  

х    у            х   у              х    у

1    5            7   7             13   5

Длины сторон    

AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   40 6,32455532

BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   40 6,32455532

AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   144 12

Точка D  BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) =   16 4

х у СD = √((xD-xС)² + (yD-yС)²) =   40 6,32455532

7 3 AD = √((xD-xA)² + (yD-yA)²) =   40 6,32455532.

Как видим - все признаки совпали.

Доказано: чотирикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб.

Это же можно доказать и по векторам.

АВ = (7-1; 7-5) = (6; 2), |AB| = √(36 + 4) = √40.

BC = (13-7; 5-7) = (6; -2), |BC| = √(36 + 4) = √40.

CD = (7-13; 3-5) = (-6; -2), |CD| = √(36 + 4) = √40.

AD = (7-1; 3-5) = (6; -2), |AD| = √(36 + 4) = √40.

Диагонали:

BD = (7-7; 3-7) = (0; -4), |BD| = 4.

AC = (13-1; 5-5) = (12; 0), |AC| = 12.

Делаем рисунок.

Продлим медиану АD на ее длину д  и соединим конец М этого отрезка с вершинами В и С треугольника. 

Получился параллелограмм,

в котором медиана - его длинная диагональ и делит параллелограмм на два равных треугольника:

 Δ АСМ =Δ АВМ

Стороны этих треугольников равны 27см,  29 см  и 26*2=52 см

По формуле Герона найдем площадь такого треугольника. 

........_____________

S =√p(p-a)(p-b)(p-c)
p-полупериметр треугольника АСМ

р=(52+27+29):2= 54

........________________________

S =√54(54-52)(54-29)(54-27)

Не буду приводить вычисления, они стандартны, Вы сделаете их без труда. 

S Δ АВМ=270 см²

А так как Δ АВМ - половина параллелограмма АВМС, то он равновелик  треугольнику АВС, который тоже является половиной этого параллелограмма. 

Площадь треугольника АВС =270 см²