коло, побудоване на стороні ас трикутника авс як на діаметрі, проходить через середину м сторони ав і перетинає сторону вс у точці n так, що bn: nc=2: 7. знайдіть відразок мn, якщо ас=6 см.

пусть О - центр вписанной окружности,N - точка касания окр со стороной АС, К - точка касания окр со стор ВС, М - точка касания окружности со стороной АВ, тогда МВ = х, АМ = 2х (2:1 от А), значит АВ = 3х. По утверждению со стр.167 учебника Атанасяна - отрезки касательных к окружности , проведенные из одной точки, равны и составляют рвные углы с  прямой проходящей через эту точку и центр окружности - АМ = АN, зн.AN= 2х и ВК = х. Аналог. СК = СN = 15 - 2х. (т.к. АС = 15, а АN = 2х). Периметр будет равен АВ + ВС + АС = 3х + (х + 15 - 2х) + (2х + 15 - 2х) =42. Решив уравнение имеем х = 6. Зн. АВ = 18см, АС = 15 см, ВС = 9 см.

Медина прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу являетс радиусом описанной окружности и равна половине длины гипотенузы. Треугольник АВС, где В-прямой угол ВО-медиана и ВО=АО=ОС=5. АС-гипотенуза и равна 5+5=10см

катеты а и b. По теореме Пифагора

а^2+b^2=10^2

Радиус вписанной окружности равен

r=(a+b-c):2=2

(a+b-10):2=2

a+b-10=4

a+b=14

a=14-b

Подставляем в первое уравнение

(14-b)^2+b^2=100

196-28b+b^2+b^2=100

2b^2-28b+96=0 (сокращаем на 2)

b^2-14b+48=0

дискрим Д=196-192=4, корень из Д=2

b1=(14-2)/2=6

b2=(14+2)/2=8

если b=6, то а=14-6=8

если b=8, то а=14-8=6

Катеты треугольника равны 6см и 8см