Коло, вписане у рівнобедрений трикутний ділить його бічну сторону на відрізки 4см і 2см, починаючи від вершини, протилежної основи. Знайти периметр

1. Поскольку задан центр описанной окружнгости, который равноудален от вершин, соединим его с вершиной основания, этот отрезок тоже имеет длину 13.  Отрезок высоты длины 5, радиус 13 и половина основания составляют прямоугольный треугольник, из которого находим, что половина основания равна корень(13^2 - 5^2) = 12, высота равна 5 + 13 =  18, отсюда площадь 216.

2. Надо построить треугольник, проведя биссектрису угла до центра вписанной окружности, и провести радиус в точку касания. Получится прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов и радиусом вписанной окружности r = 5 в качестве катета. Вторым катетом будет половина стороны. Получается, что гипотенуза в этом треугольнике (то есть отрезок биссектрисы от вершины до центра вписанной окружности) равна 2*r = 10; отсюда половина стороны

a/2 = корень(10^2 - 5^2) = 5*корень(3);

ответ: a = 10*корень(3);

Это очень сложная задача, у неё есть геометрическое решение, но очень нудное. 

Алгебраическое решение такое - если стороны a b c, и биссектрисы la и lb выходят из концов с (то есть это биссектрисы углов А и В), то 

la = b*c - a^2*b*c/(b  + c)^2; ()

lb = a*c - a*b^2*c/(a  + c)^2;

Приравниваем, получаем

a*c - a*b^2*c/(a  + c)^2 = b*c - a^2*b*c/(b  + c)^2;

a - b = a*b*(b/(a + c)^2 - a/(b + c)^2);

Предположим, что a > b;

Тогда левая часть равенства положительна, а правая отрицательна, и получается противоречие. Поэтому a = b;

Предполагается, что вы умеете вычислять длину биссектрисы по сторонам треугольника, то есть знаете формулу ().