Коло з центром у точці О дотикається до сторін кута ВАС ( В і С точки дотику). Дотична MN до цього кола перетинає сторони кута AB AC відповідно в Точках N i M . Знай-
діть периметр трикутника АМN якщо AB = 9 см.​

Дается  один из возможных вариантов решения. ( На сайте есть и другой). 

Пусть параллелограмм будет АВСD, 

сторона АD=2√3,  диагональ АС=√19,  ∠ ВАD=30°

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° ( из свойства углов при параллельных прямых и секущей). 

Тогда ∠ АDС=150°

По т.косинусов из ∆ АDС:

АС²=АD² +СD²  - 2•AD•CD•cos ∠ADC

Примем СД=х

cos150ª= -cos30º= -(√3):2

19=12+х²-2•2√3•(-√3):2 ⇒ 

х²+6х-7=0⇒

D=b²-4ac=6²-4•-7=64

x₁=-(6)+√64):2=1;

х₂= -(6)-√64):2=-7 ( не подходит)

Противоположные стороны параллелограмма равны. АВ=CD

Меньшая сторона параллелограмма равна 1 см. 

Дано тр. ABC

К, M - середины AB и ВС

AB=BC

BD - медиана

Док-ть:

тр. BKD = тр. BMD

Док-во:

так как K и M по условию середины сторон AB и ВС, то KM - средняя линия тр. ABC

AB=BC (по условию тр. равнобедренный), след-но BK=BM и угол BKM = углу BMK (углы при основании равнобедренного тр.)

BD - медиана (из определения - отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны), след-но KD=DM

Значит по первому признаку равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

эти треугольники равны (BK=BM, KD=DM, угол BKM = углу BMK)