Концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстояния 3,7 м и 8,9 м. Найдите расстояние от середины М отрезка АВ до этой плоскости.

Центр окружности, описанной вокруг треугольника, находится в точке пересечения  срединных перпендикуляров.
Центр окружности,  вписанной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис.
Так как срединные перпендикуляры правильного треугольника - его высоты и биссектрисы, центры описанной и вписанной окружности совпадают. 
Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты.
Радиус вписанной равен половине радиуса описанной окружности, т.е. 1/3 высоты ( медианы, биссектрисы). 
Высота правильного треугольника равна (а√3):2, радиус вписанной окружности r=[(а√3):2]:3, где а - сторона треугольника. ⇒
r=[6√3•√3):2]:3=18:6=3
Площадь круга находят по формуле:
S=π•r²
S=π•3²=9π

Пусть Н - середина стороны ВС.

АН⊥ВС как медиана и высота правильного треугольника АВС,

SH⊥ВС как медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.

∠SHA = 45° - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

ΔSOH: ∠SOH = 90°, ∠SHO = 45°, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник, тогда

ОН = SH = 4 м,    SH = 4√2 м

ОН - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

ОН = АВ√3/2

АВ = 2 · ОН / √3 = 2 · 4 / √3 = 8√3/3 м

Sбок = 1/2 Pосн · SH

Sбок = 1/2 · 3 · 8√3/3 · 4√2 = 16√6 м²