Концы отрезка, длина которого равна 10 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Углы, которые образует отрезок с данными плоскостями, равны 45° и 60°. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.
Шаг 1: Построение
Для начала, нарисуем плоскостями и отрезком, чтобы визуализировать данную задачу.
(Тут можно нарисовать на бумаге плоскости, связанные отрезком в виде буквы L, где одна плоскость вертикальная, а другая плоскость горизонтальная.)
Шаг 2: Поиск расстояния между основаниями перпендикуляров
Теперь, мы должны найти расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.
Рассмотрим отдельно каждый угол:
- Угол 45°: отрезок пересекает вертикальную плоскость под углом 45°. Поскольку мы знаем длину отрезка (10 см), мы можем использовать тангенс 45° для вычисления высоты, на которую опущен перпендикуляр из конца отрезка на эту плоскость.
tg(45°) = высота / 10 см
Так как тангенс 45° равен 1, мы можем упростить выражение:
1 = высота / 10 см
высота = 10 см
- Угол 60°: отрезок пересекает горизонтальную плоскость под углом 60°. Как и в предыдущем случае, мы можем использовать тангенс 60° для вычисления высоты, на которую опущен перпендикуляр из конца отрезка на эту плоскость.
tg(60°) = высота / 10 см
Так как тангенс 60° равен √3, мы можем записать:
√3 = высота / 10 см
высота = 10 * √3 см
Шаг 3: Нахождение расстояния между основаниями перпендикуляров
Теперь, чтобы найти расстояние между основаниями перпендикуляров, нам нужно сложить найденные ранее высоты:
расстояние = высота от вертикальной плоскости + высота от горизонтальной плоскости
расстояние = 10 см + 10 * √3 см
расстояние ≈ 10 см + 10 * 1.73 см (примерное значение для √3)
расстояние ≈ 10 см + 17.3 см
расстояние ≈ 27.3 см
Ответ: Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, составляет примерно 27.3 см.
Обоснование ответа:
Мы использовали свойство перпендикуляра, которое гласит, что перпендикуляр опущенный на плоскость является кратчайшим расстоянием от точки до плоскости. Поэтому, мы опустили перпендикуляры из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, чтобы найти кратчайшее расстояние между основаниями перпендикуляров.