Контрольна робота з геометрії для 8 класу «Ознаки подібності трикутників» І варіант

1)Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то ее площадь равна полупроизведению диагоналей.S=56. Можно вывести.ПУстьABCD трапеция, а т.О пересечение диагоналей, тогда S=AO*BD/2+CO*BD/2=BD/2*(AO+OC)=(BD*AC)/2

2)ABCD трапеция. тогда боковые стороны будут по 13 см. А так как в трапецию вписана окружность, сумма оснований =26. S=(AD+BC)*H/2=13*H.Найдем висоту трапеции.Расстояние от точки B до точек касания =4.от т.A до точек касания 9( аналогично от двух других вершин0. получаем BC=8, AD=18.Опусти две высоты и найды по т.Пифагора высоту трапеции,получаем 12 и тогда S=13*12=156

Вписываем в исходный треугольник окружность с центром О, проводим касательные перпендикулярно биссектрисам двух острых углов исходного треугольника (на рисунке ST и UV). Эти касательные отрезают два остроугольных треугольника AST и UVC (т.к равнобедренные треугольники  с острым углом противолежащим основанию являются остроугольными).  В центральном 5-угольнике все его внутренние углы тупые (кроме, может быть угла B). Соединяем вершины этого 5-угольника с центром О. Полученные пять треугольников остроугольные, потому что проведенные отрезки - биссектрисы углов 5-угольника, а биссектрисы делят любой угол на два острых, причем, если угол был тупой, то его половина больше 45 градусов, т.е. это означает что углы при вершине О, острые.

P.S. Можно доказать, что меньше, чем на 7 остроугольных треугольников разрезать нельзя.