Контрольна робота з теми «перпендикулярність прямої та площини». вaрiант 1 1з точки а до площини проведено похилі ас і аd та 1. перпендикуляр ав. знайти проекції похилих на площину якщо ас%-sсм,

Речь идет о дугах, меньших 180°, то есть о дугах , на которые опираются центральные углы АОА1 и В1ОА1.
Радиус, перпендикулярный к хорде, делит последнюю пополам.
Треугольники ОВН и ОВ1Н равны по второму признаку:
"Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны."
Из равенства треугольников имеем: <BOH=<B1OH.
Это центральные углы и, следовательно, градусные меры дуг, на которые они опираются, равны градусным мерам этих углов и, следовательно, равны между собой.
Что и требовалось доказать.
Второй вариант:
Есть свойства:
1) "Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам". Значит хорды ВА1 и В1А1 равны.
2) "Равными хордами стягиваются равные дуги".
Вот и все доказательство.

Если знать теорему Менелая, то из треугольника ВКС : ВО/ОК *АК/АС * СД/ДВ = 1, отсюдаЕсли знать теорему Менелая, то из треугольника ВКС : ВО/ОК *АК/АС * СД/ДВ = 1, отсюда АК/АС * СД/ДВ=3/5, а из треугольника АДС мы получаем ДВ/ВС*СК/КА=2/3, теперь возьмем наши отрезки за буквы АК - а, КС - в, СД - д, ВД - с. Мы имеем систему а/(а+в)*д/с=3/5 и с/(с+д)*в/а=2/3 переворачиваем числители и знаменатели обеих частей двух равенств и делаем очевидную замену в/а=х и д/с=у. А это и есть искомые отношения, решаем систему получаем ответ 9:16 и 3:5