Контрольная работа ( )

1. 1) Нарисуйте параллелограмм АВСD, диагонали которого
пересекаются в точке О.
Найдите пару коллинеарных векторов.

А) векторы АВ и ВС; Б) векторы АС и DB; В) векторы АО и СО;

Г) векторы АD i FC.

2.) В прямоугольной системе координат на плоскости даны векторы a (4; -3)

и b (12; -9). К каждому начале предложения (1 - 4) подберите его окончания

(А - Д) так, чтобы образовалось правильное утверждение.

Начало предложения Окончание предложения

1. Длина вектора b А. равен 75.

2. Суммой векторов a и c (n, 3) является

нулевой вектор, если n Б. равна 21.

3. Векторы a и b коллинеарны, если k В. равна 15.

4. Скалярное произведение векторов a и b Г. равна 3.

Д. равен 4.

3) Даны векторы a (-6; 9) и b (-14; -21). Найдите координаты вектора

2a - 5b.

4) Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А (3; -2), В (5; -6),

С (-5; 2).

1) ДАСВ ~ ДАВС по 1-му признаку подобия прямоугольных треугольников: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то

|||такие треугольники подобны. А у ДACD и ∆АВС общий острый угол А.

2) Катет AC прямоугольного ДАВС лежит против угла <В = 30°, значит АС равен половине гипотенузы АВ: АС = 0,5AB = 0,5-12 = 6 (см).

Найдём коэффициент подобия АСВ и ДАВС по отношению их гипотенуз AC : AB = 6/12 = 1/2. Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников k = 1/2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

S(ДАCD) : S(ДАВС) = k² = 1 : 4.

3) Найдём величину катета ВС, используя теорему Пифагора:

BC = √(AB² - AC²) = √(12² - 6²) = √108 = 6√3 (CM)

Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к углу сторонам. Поэтому СЕ : BE = AC: AB = 1/2.

Тогда СЕ = 1/3 · ВС = 2√3 (см) и ВЕ = 2/3 BC = 4√3 (см)

Общая хорда двух  пересекающихся кругов является стороной правильного треугольника, вписанного в один круг, и стороной квадрата, вписанного в другой круг. Длина этой хорды равна a. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны хорды. 

            Обозначим центр окружности с вписанным треугольником О, центр второй - О1. 

Стороны треугольника и квадрата равны а. 

Искомое расстояние равно сумме  расстояний ОН -  от точки пересечения медиан треугольника,-  до хорды-  и  НО1 - от хорды до точки пересечения диагоналей квадрата.

ОН равно радиусу окружности,  вписанной в правильный треугольник, т.е.1/3 его высоты. 

Высота =а√3/2. ОН= а√3/6 

Расстояние от хорды до О1 равно половине стороны квадрата, т.е. 

НО1=а/2